Aufgaben zu Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zera |
| Aufgabe | Hier:
http://homepages.fh-regensburg.de/~lor39542/08ws/an1/download/uebung02.pdf |
Irgendwie tue Ich mich schwer mit diesen Uebungsblättern und mir mag partout nichts einfallen:
Ich habe lediglich die Aufgabe 2.3 a)-c) gemacht und meine, 2.2 c) geht aus 2.2 a) und b) hervor.
Auch existiert die Vermutung, dass 2.1 a) gegen 1 konvergieren könnte und dass da eventuell mit quadrieren etwas zu machen ist.
Könnt ihr mir vielleicht Ideen und Tipps geben, wie man die gansen anderen Aufgaben lösen könnte und wie man die Schwierigkeiten, die sich dann auftun überwinden würde?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zera,
bei Aufgabe 2.1(a) erweitere mal den Ausdruck mit [mm] $\sqrt{n-1}\red{+}\sqrt{n}$
[/mm]
Damit bekommst du die 3. binomische Formel und wirst die Wurzeldifferenz los.
Nach dem Erweitern klammere im Nenner [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] aus ...
Dann kommst du auf den GW ....
In (b) hängt doch die Summe nicht von n ab, der Laufindex ist ja k
Also ziehe mal [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] vor die Summe.
Die Summe, die du dann noch dastehen hast, solltest du unbedingt kennen, und einen geschlossenen Ausdruck dafür auch.
Damit vereinfacht sich die Sache beträchtlich und du kannst mal den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] machen
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Do 06.11.2008 | | Autor: | Zera |
Ich komme auf den Grenzwert -0.5; Also
lim n-->("Unendlich") 1/[2 - (1/Sqrt(n)]
Soll ich zudem noch die Konvergenz beweisen, und wenn ja, etwa durch aufzeigen der Beschränktheit und der monotonie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Do 06.11.2008 | | Autor: | Zera |
Ich meinte "-1/[2 - (1/Sqrt(n)] ", was -0.5 wird da
1/Sqrt(n) gegen Null konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Do 06.11.2008 | | Autor: | Zera |
Wenn man [mm] 1/n^2 [/mm] vor die Klammer zieht hat man dann [mm] n!/n^2, [/mm] ?
Ich glaube das divergiert gegen Unendlich.
P.S. Danke dass du dir die Zeit und Mühe machst mir zu helfen, und den anderen die mir bei der vorigen Aufgabe geholfen haben, auch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:13 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zera!
Wo "zauberst" Du denn plätzlich die Fakultät her? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm] $\bruch{1}{n^2}$ [/mm] ausklammern ist eine sehr gute Idee. Dann verbleibt als Reihe [mm] $\bruch{1}{n^2}*\blue{\summe_{k=1}^{n}k}$ [/mm] .
Und für die blaue Summe solltest Du eine explizite Form kennen (hat was mit einem gewissen Gauß zu tun).
Gruß
Loddar
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Hallo nochmal,
> ![[]](/images/popup.gif) Hier:
> Irgendwie tue Ich mich schwer mit diesen Uebungsblättern
> und mir mag partout nichts einfallen:
> Ich habe lediglich die Aufgabe 2.3 a)-c) gemacht und
> meine, 2.2 c) geht aus 2.2 a) und b) hervor. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jede monoton wachsende (fallende) Folge, die nach oben (unten) beschränkt ist, hat einen GW
> Auch existiert die Vermutung, dass 2.1 a) gegen 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Tipp siehe in der anderen Antwort
> konvergieren könnte und dass da eventuell mit quadrieren
> etwas zu machen ist.
> Könnt ihr mir vielleicht Ideen und Tipps geben, wie man
> die gansen anderen Aufgaben lösen könnte und wie man die
> Schwierigkeiten, die sich dann auftun überwinden würde?
In 2.3(d) kannst du den Grenzwert so bestimmen (nach (a)-(c) weißt du ja, dass die Folge konvergent ist)
Es ist [mm] $a=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$
[/mm]
Setze also an: [mm] $a=\sqrt{c+a}$ [/mm] und löse das nach a auf
Bei 2.4 ist doch ein Hinweis, gehe dem mal nach, dann hast du, dass die Folge monoton fallend ist, nach unten beschränkt ist sie offensichtlich auch.
Wodurch?
Damit ist sie konvergent ... - nutze den Tipp
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zera |
Ich habe bei 2.3d) eine ähnliche Aufgabe zur Verfügung und es genau so weit gemacht, wie von dir beschrieben; Allerdings meine ich, die entsprechende Vorlesung geschwänzt zu haben und die Mechanik der Konvergenz-Rechenregeln weder bei der Übungsaufgabe hier noch bei der Aufgabe die mir zur Verfügung steht verstanden zu haben:
Wenn ich a = Sqrt(c + a) hab löse ich dann nach "a" auf?
Ind der parallelen anderen Aufgabe die ich habe steht
lim(an)-->"unendlich" = a = 1/2 ( a + 6) und dann kommt a = 6
raus wie genau rechnet man da?
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Hallo nochmal,
> Ich habe bei 2.3d) eine ähnliche Aufgabe zur Verfügung und
> es genau so weit gemacht, wie von dir beschrieben;
> Allerdings meine ich, die entsprechende Vorlesung
> geschwänzt zu haben und die Mechanik der
> Konvergenz-Rechenregeln weder bei der Übungsaufgabe hier
> noch bei der Aufgabe die mir zur Verfügung steht verstanden
> zu haben:
> Wenn ich a = Sqrt(c + a) hab löse ich dann nach "a" auf?
Ja, quadriere doch einfach mal ...
>
> Ind der parallelen anderen Aufgabe die ich habe steht
> lim(an)-->"unendlich" = a = 1/2 ( a + 6) und dann kommt a
> = 6
> raus wie genau rechnet man da?
quadrieren wäre ein guter Anfang ...
LG
schachuzipus
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Hallo zum dritten 
Nun, wie zeigt man denn, dass eine Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] monoton wachsend ist?
Doch, indem man, zeigt, dass [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ > [mm] (\ge) [/mm] \ 0$ ist
Schreibe das doch mal hin ...
Es läuft nur auf ein bisschen Umformen hinaus ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Zera |
Ich würde tippen, dass die folge nach unten durch die Null bechränkt ist, denn laut Hinweis in der Aufgabenstellung ist die Folge smf, und sollte niemals kleiner als Null werden, wenn der Nenner schneller wächst als der Zähler. Allerdings wüsste ich nicht, wie/womit man umformen könnte, um den Term zu vereinfachen sodass man chließlich auf den Grenzwert kommt.
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Hallo nochmal,
falls du sie benutzen darfst, hilft hier ganz gut die Stirling'sche Formel:
$n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \sqrt{2\pi n}\cdot{}\left(\frac{n}{e}\right)^n$
[/mm]
Falls nicht, zerlege mal Zähler und Nenner
[mm] $\frac{n^n}{(n!)^2}=\frac{\overbrace{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}.....\cdot{}n}^{n-mal}}{\underbrace{1^2\cdot{}2^2\cdot{}3^2\cdot{}.....\cdot{}n^2}_{n \text{Faktoren}}}$
[/mm]
und versuche, hier weiter abzuschätzen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Do 06.11.2008 | | Autor: | Zera |
Durch Nachrechnen würde man zwar meinen, [mm] (n!)^2 [/mm] wächst schneller als [mm] n^n, [/mm] jedoch steht bei deiner Aufführung des Problems im Zähler zu Beginn n x n x n x n... und im nenner [mm] 1^1 [/mm] x [mm] 2^2 [/mm] x [mm] 3^3... [/mm] usw also Werte, die zunächst kleiner als die Werte oben sind. Am Ende der Darstellung ist im Nenner [mm] n^n [/mm] entsprechend größer als [mm] n^2, [/mm] und die Faktoren davor sicher auch, doch wie kann man nun beweisen dass das insgesamt mehr ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Do 06.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zera!
> und im nenner [mm]1^1[/mm] x [mm]2^2[/mm] x [mm]3^3...[/mm] usw
Aufgepasst: im Nenner lautet der Exponent jeweils $2_$ !
Warum befolgst Du nicht den Hinweis, welcher Dir in der Aufgabenstellung benannt ist? Damit hast Du dann auch die Monotonie.
Und die untere Schranke ist dann auch kein Problem mehr.
Gruß
Loddar
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Grenzwertsätze