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| Aufgabe | 1.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim Zahlenlotto "6 aus 49" a) 5 Richtige mit Zusatzzahl b) 5 Richtige ohne Zusatzzahl c) 4 Richtige?
2.) Karl ist der Aufsichtsratvorsitzende der Firma G. Neben ihm gehören noch vier Damen und vier Herren dem Gremium an. Bei ihren Sitzungen nehmen die neun Personen an einem runden Tisch Platz. Wieviele verschiedene Möglichkeiten der Sitzordnung gibt es, wenn a) keinerlei Einschränkungen gelten b) die vier Damen nebeneinander sitzen?
3.) In einem Zimmer befinden sich 7 Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle an verschiedenen Wochentagen Geburtstag? |
Hallo liebes Vorhilfe-Team!
Im Rahmen meiner Vorbereitungen auf mein Leistungskurs Mathe-Abi nächste Woche bin ich auf ein paar Aufgaben gestoßen, die ich (selbst, wenn ich den Lösungsweg anschaue) nicht verstehe. Tut mir leid, dass ich hier gleich mit so vielen Fragen auf einmal "ankomme". Falls mir trotzdem jemand in meinem Kombinatorik-Chaos helfen kann, wär ich wirklich sehr dankbar!
Und jetzt konkret zu den Aufgaben...
1.) a) [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{1 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] --> Das ist mir noch klar.
b) [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{42 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}
[/mm]
c) [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 4} * \vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}
[/mm]
Bei b) und c) verstehe ich dann allerdings nicht, warum einmal bei b) 42 und bei c) dann 43 steht. Für mich klingen die Aufgaben eigentlich quasi gleich, sodass es mir einleuchten würde, wenn man sie nur so abändern und anpassen muss, dass dann dasteht:
b) [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{43 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}
[/mm]
und bei c) [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 4} * \vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}, [/mm] sprich: dass da immer 43 stehen muss. Kann mir vielleicht jemand den Unterschied zwischen diesen beiden Aufgaben erklären?
2.) In der Lösung steht gleich am Anfang: "Am runden Tisch gibt es für n Personen (n-1)! Möglichkeiten", und diesen Satz kann ich scho mal nicht nachvollziehen. Eigentlich gibt es doch so und so n! Möglichkeiten, ob der Tisch nun rund ist, oder nicht. Warum liege ich mit meiner Vermutung falsch und es gibt somit bei der a) nicht 9! sondern 8! Möglichkeiten?
Bei der 2.b) steht in der Lösung: 4! * 5! = 2880. Diese Lösung kann ich auch wieder nicht nachvollziehen, da hier doch gar nicht berücksichtigt wurde, dass die vier Damen nebeneinander sitzen müssen, oder? Ich bin auf folgende Lösung gekommen: 9 * 4! * [mm] \vektor{5 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 4} [/mm] = 1080, da es 9 Möglichkeiten gibt, die Vierergruppen der Damen zu verrutschen, dann noch 4! um innerhalb der Vierergruppe der Damen durchzuwechseln, [mm] \vektor{5 \\ 1} [/mm] wegen dem Platz für Karl und dann noch [mm] \vektor{4 \\ 4} [/mm] für die Verteilung der restlichen 4 Plätze an die 4 Herren.
Wo ist hier der Fehler?
3.) In der Lösung steht: "Für jede der 7 Personen kommt jeder Wochentag in Frage --> [mm] 7^{7}." [/mm] Soweit alles klar. "Die 7 Personen lassen sich auf 7! Arten anordnen --> P(A)= [mm] \bruch{7!}{7^{7}} \approx [/mm] 0,61%."
Warum geht es hier um die Arten, wie man die Personen anordnen kann? Die Reihenfolge ist hier doch eigentlich egal, oder?
So, das war's "auch schon". Vielen Dank schon mal im Voraus, falls sich jemand die Zeit nehmen sollte, sich das alles durchzulesen und mir vielleicht sogar helfen kann.
Viele liebe Grüße,
Ricarda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 09.05.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und einen schönen Sonntag!
> 3.) In der Lösung steht: "Für jede der 7 Personen kommt
> jeder Wochentag in Frage --> [mm]7^{7}."[/mm] Soweit alles klar.
> "Die 7 Personen lassen sich auf 7! Arten anordnen --> P(A)=
> [mm]\bruch{7!}{7^{7}} \approx[/mm] 0,61%."
> Warum geht es hier um die Arten, wie man die Personen
> anordnen kann? Die Reihenfolge ist hier doch eigentlich
> egal, oder?
Die Aussage,
daß sich die sieben Personen auf 720 Arten anordnen lassen,
ist richtig,
aber,
wie ich finde,
irreführend.
Gemeint ist wohl folgendes:
damit alle an verschieden Wochentagen Geburtstag haben,
muß
jemand am Montag,
jemand am Dienstag,
jemand am Mittwoch,
jemand am Donnerstag,
jemand am Freitag,
jemand am Sonnabend und
jemand am Sonntag Geburtstag haben.
Damit das so ist,
bestehen für
Person A 7 Möglichkeiten, wenn Person A feststeht gibt es für Person B noch 6 Möglichkeiten
und so weiter.
Insgesamt [mm] $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot [/mm] 1=7!$ Möglichkeiten die Wochentage so zu wählen,
daß keine zwei Personen am selben Wochentag Geburtstag haben.
Schönen Gruß
Karsten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Mo 10.05.2010 | | Autor: | karma |
Hallo und guten Morgen.
> 2.) Karl ist der Aufsichtsratvorsitzende der Firma G. Neben
> ihm gehören noch vier Damen und vier Herren dem Gremium
> an. Bei ihren Sitzungen nehmen die neun Personen an einem
> runden Tisch Platz. Wieviele verschiedene Möglichkeiten
> der Sitzordnung gibt es, wenn a) keinerlei Einschränkungen
> gelten b) die vier Damen nebeneinander sitzen?
Der (sagen wir) Trick beim runden Tisch liegt darin,
daß die Anordnungen symetrisch sind.
Ich gebe mal ein Beispiel mit den drei Personen Max, Tim und Urs.
Bei der Sitzanordnung
Tim Urs
Max
ist der linke Nachbar von Max Tim und der rechte Nachbar Urs.
Genauso ist es bei der folgenden Sitzordnung:
Max Tim
Urs
Und auch bei der folgenden:
Urs Max
Tim
Eine wirklich verschiedene Sitzordnung erhält man nur,
wenn man den rechten und linken Nachbarn von Max vertauscht.
Wenn also Urs linker Nachbar von Max wird und Tim rechter:
Urs Tim
Max
Und so weiter.
Von ursprünglich $3!=6$ möglichen linearen Anordnungen sind aufgrund der Symetrie eines runden Tisches (nur) noch [mm] $2!=\frac{3!}{3}=2$ [/mm] mögliche Anordnungen übriggeblieben.
Entsprechen bleiben bei $9!$ linearen Anordnungen [mm] $\frac{9!}{9}=8!$ [/mm] runde Anordnungen übrig.
Schönen Gruß
Karsten
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Hallo,
> 1.) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim
> Zahlenlotto "6 aus 49" a) 5 Richtige mit Zusatzzahl b) 5
> Richtige ohne Zusatzzahl c) 4 Richtige?
> 1.) a) [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{1 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
> --> Das ist mir noch klar.
> b) [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{42 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
>
> c) [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4} * \vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
>
> Bei b) und c) verstehe ich dann allerdings nicht, warum
> einmal bei b) 42 und bei c) dann 43 steht. Für mich
> klingen die Aufgaben eigentlich quasi gleich, sodass es mir
> einleuchten würde, wenn man sie nur so abändern und
> anpassen muss, dass dann dasteht:
> b) [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{43 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}[/mm]
>
Nun ganz einfach erklärt: Unter den 43 Zahlen, die nicht die 6 Richtigen sind, befindet sich die Zusatzzahl, diese aber will man nicht ziehen, somit steht eigentlich da:
[mm] \bruch{\vektor{6 \\ 5}*\vektor{1 \\ 0}*\vektor{42 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}}, [/mm] was das gleiche wie [mm] \bruch{\vektor{6 \\ 5} * \vektor{42 \\ 1}}{\vektor{49 \\ 6}} [/mm] ist .
> und bei c) [mm]\bruch{\vektor{6 \\ 4} * \vektor{43 \\ 2}}{\vektor{49 \\ 6}},[/mm]
> sprich: dass da immer 43 stehen muss. Kann mir vielleicht
> jemand den Unterschied zwischen diesen beiden Aufgaben
> erklären?
Bei c) wird keine Aussage drüber getroffen, ob man noch die Zusatzzahl hat oder nicht, daher steht hier dann 43 bezeichnend für die Zahlen, die nicht zu den 6 Richtigen gehören.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Mo 10.05.2010 | | Autor: | ricimausal |
... Und wieder mal kann man feststellen, dass Wahrscheinlichkeitsrechnung/Stochastik eigentlich doch gar nicht soooo schwer ist :)
Vielen, vielen Dank, karma und ms2008 de!!
Liebe Grüße,
Ricarda
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