Aufgaben zur Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 So 10.07.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1:
a) Es sei s der Wert der (absolut) konvergenten Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^2}. [/mm] Zeigen sie, dass [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{(2k-1)^2}=\bruch{3}{4}s
[/mm]
b)Beweisen sie, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n) [/mm] genau dann konvergiert, wenn die Folge [mm] a_n [/mm] konvergiert.
c)Zeigen sie, dass die Potenzreihe [mm] P_1(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] und [mm] P_2(z)=\summe_{n=0}^{\infty}n^ka_nz^n [/mm] denselbenkonvergenzradius p haben. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2:
a) Zeigen sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k} [/mm] bestimmt divergent gegen [mm] +\infty [/mm] divergiert. Betrachten sie dazu die Teilfolge [mm] S_{2^n} [/mm] der Partialsummen und zeigen sie zunächst, dass [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \IN \summe_{k=2^i+1}^{2^{i+1}}\bruch{1}{k}\ge \bruch{1}{2}
[/mm]
b)Untersuchen sie die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] a_n:=\begin{cases} 1/7^n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade}\\ 1/3^n, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Begründen sie zunächst, warum das Quotientenkriterium nicht anwendbar ist und zeigen Sie mit einem anderen Kriterium, dass die Reihe dennoch konvergiert.
c) Berechnen sie den Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{x^2}{5}\right)^n [/mm] |
Guten Tag,
hoffe es ist ok die beiden Aufgaben um selben Thema zu posten.
Zunächst zur 1.)
Hier bin ich bei allen Aufgaben nicht wirklich weit gekommen. Ich komm nicht wirklich auf einen funktionierenden Ansatz.
a) Ich habe versucht, die Reihen irgendwie umzuformen, sodass etwas ähnliches zustande kommt. Das ganze war allerdings nicht wirklich von Erflog gekrönt.
b) Also warum die Reihe konvergiert, kann ich mir "bildlich" schon vorstellen. Man betrachtet ja einmal, das (n+1)-te Glied der Folge und subtrahiert davon immer das n-te Glied.
Muss die Reihe nicht sogar gegen 0 konvergieren? Denn für belibig große n wird ja der Abstand zwischen den Folgegliedern belibig klein.
Mehr als diese Überlegung habe ich aber auch nicht.
c) Ich dachte daran das Wurzelkriterium zu verwenden. Nur meine Reihe besteht ja jetzt aus [mm] a_nz^n
[/mm]
schreibe ich dann: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_n}*\wurzel[n]{z^n}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_n}*z [/mm] ?
Zur Aufgabe 2)
a)Betrachtet man die Teilfogle kommt man für :
i=1 : 1/3+1/4 > 1/2
i=2: 1/5+1/6+1/7+1/8 >1/2
.....usw.
Die kleinste Summe diese Teilfolge ist also schon größer als 1/2 und wird immer größer. Damit sind alle anderen Teilfolgen auch größer als 1/2.
Betrachtet man die Ganze Reihe kommt zu der Teilfolge nocht die Elemente 1+1/2 hinzu, die natürlich auch >1/2 sind.
Die Reihe wird also unendliich groß und ist deswegen bestimmt divergent gegen + [mm] \infty
[/mm]
Was ich allerdings nicht verstehe ist, warum man konkret zeigt, dass die Teilfolge >1/2 ist.
Es würde ja auch reichen zu zeigen, dass die Teilfolge bspw. >1/1000 ist und immer größer wird.
Für unendlich Summanden geht sie dann trotzdem gegen [mm] +\infty.
[/mm]
b) Ich hab mir überlegt, dass man das Quotientenkriterium nicht anwenden kann, da es abhängt ob [mm] a_n [/mm] ungerade oder gerade ist. Dementsprechend ist auch [mm] a_{n+1} [/mm] gerade oder ungerade.
So weiß man beim Krit. nicht ob man [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{7^n}{3^n} [/mm] oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{3^n}{7^n} [/mm] betrachten soll.
Jetzt habe ich die Konvergenz der Reihe mit dem Majoranten- und mit dem Wurzelkriterium gezeigt.
Man weiß ja das immer [mm] \bruch{1}{3^n}>\bruch{1}{7^n} [/mm] , also eine Majorante ist.
Betrachtet man nun [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm] alleine und wendet das Wurzelkriterium an kommt an auf:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{\bruch{1}{3^n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}sup \bruch{\wurzel[n]{1}}{\wurzel[n]{3^n}}=\bruch{1}{3} [/mm] < 1. Damit konvergiert die Reihe.
Ist das ok, denn ich betrachte ja die Folge nicht mehr nur für ungerade n, sondern für alle n.
Wegen dem Majorantenkriterium konvergiert auch [mm] \bruch{1}{7^n}.
[/mm]
Kann man das so sagen?
c) Hier habe ich das Qutientenkriterium angewandt. (ich spar mir jetzt mal lim sup immer davor zu schreiben)
Mit kürzen kommt man auf:
[mm] \bruch{\left(\bruch{x^2}{5}\right)^{n+1}}{\left(\bruch{x^2}{5}\right)^{n}}=\bruch{x^2}{5}
[/mm]
[mm] \bruch{x^2}{5} [/mm] <1 [mm] \forall x>\wurzel{5} [/mm] (dürfen die auch kleiner 0 werden? wenn nicht [mm] \forall 0
Und das ist mit der Einschränkung des Intervalls dann der Konvergenzradius?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 10.07.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
zu 1a) betrachte zusätzlich die Reihe über lle geraden n. wie groß ist die verglichen mit der über alle n? dann nimm die summe der 2 Reihen (über gerade und ungerade zahlen. welchr reihe ist das?
b) die Summanden einer konvergenten Reihe müssen immer gegen 0 konv. deshalb konv. doch die Reihe nicht gegen 0?
Genau dann muss man immer in 2 Schritten zeigen wenn, dann und Nur wenn dann.
Du mußt benutzen, dass die Reihe über [mm] a_n [/mm] konvergiert, was weisst du dann?
c) konvergenzradius hat nichts mit [mm] z^n [/mm] zu tun, sondern gibt an für welche z die reihe konv. siehe die Definition nach. Wurzelkr, ist ok
2. du musst das allgemein zeigen durch Abschätzen, mit pünktchen und den ersten 3 i ist da nix los: Bsp alle ungeraden zahlen (2n+1) sind primzahlen n=1 3 ist prim n=2 5 ist prim usw... alle ungeraden Zahlen sind prim. noch ne Stichprobe n=9 auch ok
Wenn du die Reihe aus lauter Teilreihen >1/1000 herstellen kannst dann kannst du natürlich auch beweisen, dass sie divergiert
was du mit " >1/1000 ist und immer größer wird. " meinst, versteh ich nicht.
So wie gezeigt, kann man die divergenz zeigen, das heißt doch nicht, dass man es nicht auch anders zeigen kann, du kannst es ja versuchen! aber erst diesen Beweis noch richtig machen!
b) majorante, indem man alle [mm] (1/7)^n [/mm] durch [mm] (1/3)^n [/mm] ersetzt ist richtig. danach geom. Reihe, du brauchst kein Wurzelkr. mehr.
c) der konvergenzradius ist richtig, er ist immer ne positive Zahl! für alle |x|<r konvergiert die reihe!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 So 10.07.2011 | | Autor: | Sup |
> hallo
> zu 1a) betrachte zusätzlich die Reihe über lle geraden
> n. wie groß ist die verglichen mit der über alle n?
Versteh noch nicht ganz worauf du hinaus willst aber ich versuchs mal.
für alle Geraden ist es [mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2 [/mm] und die ist kleiner als die Reihe über alle k, da 2k > 2k-1.
> dann
> nimm die summe der 2 Reihen (über gerade und ungerade
> zahlen. welchr reihe ist das?
Wenn ich die beiden Addire komm ich auf [mm] \summe_{}^{}\bruch{6k^2-4k-1}{2k^2(2k-1)^2}
[/mm]
> b) die Summanden einer konvergenten Reihe müssen immer
> gegen 0 konv. deshalb konv. doch die Reihe nicht gegen 0?
Hmm ja stimmt ich habe [mm] a_n [/mm] als einzelnes Element gesehen, aber das ist ja ne ganze Folge.
Nur damit ich es nicht mussverstehe. Wenn [mm] a_n=1/k [/mm] wäre, dann wäre [mm] a_{n+1}=1/(k+1)
[/mm]
> Genau dann muss man immer in 2 Schritten zeigen wenn, dann
> und Nur wenn dann.
> Du mußt benutzen, dass die Reihe über [mm]a_n[/mm] konvergiert,
> was weisst du dann?
Das dann auch [mm] a_{n+1} [/mm] konvergiert. Die Summe 2 konvergenter Reihen ist auch konvergent. Allerdings haben wir den Beweis zur Summe konvergenter Reihen nicht gemacht.
Aber das folgt ja auch den Grenzwertsatz [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n, [/mm] oder?
Die Rückrichtung geht einfach umgekehrt?
Wenn [mm] \summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n) [/mm] konvergiert, müssen beide Folgen auch konvergieren
> c) konvergenzradius hat nichts mit [mm]z^n[/mm] zu tun, sondern
> gibt an für welche z die reihe konv. siehe die Definition
> nach. Wurzel, ist ok
Also lasse ich das [mm] z^n [/mm] komplett weg? Ich soll also zeigen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_n}=p [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^ka_n}=p.
[/mm]
Wie soll ich dass den machen. Mir leuchtet die Gleichheit nicht ein, denn [mm] n^k [/mm] verändert doch den Grenzwert/Konvergenzradius?
> 2. du musst das allgemein zeigen durch Abschätzen, mit
> pünktchen und den ersten 3 i ist da nix los:
Du machst doch im Grunde bei denen Primzahlen nichts anderes. Du betrachtest n=1,2....,9,....
> Bsp alle
> ungeraden zahlen (2n+1) sind primzahlen n=1 3 ist prim n=2
> 5 ist prim usw... alle ungeraden Zahlen sind prim. noch ne
> Stichprobe n=9 auch ok
Wie kommst du denn auf (2n+1) und was das mit Primzahlen zu tun hat verstehe ich ehrlich gesagt auch noch nicht.
> Wenn du die Reihe aus lauter Teilreihen >1/1000 herstellen
> kannst dann kannst du natürlich auch beweisen, dass sie
> divergiert
> was du mit " >1/1000 ist und immer größer wird. "
> meinst, versteh ich nicht.
Wenn eine Teilfolge von [mm] \summe_{}^{}1/k [/mm] > 1/1000 ist und man das eben unendlich oft summiert, kommt an ja auch auf eine Divergenz von [mm] +\infty.
[/mm]
Es ist also Prinzipiell egal welche Teilfolge ich genau betrachte, oder?
Ich war mir da etwas unsicher, denn ich habe in allen Bücher immer den Beweis mit >1/2 gefunden.
> So wie gezeigt, kann man die divergenz zeigen, das heißt
> doch nicht, dass man es nicht auch anders zeigen kann, du
> kannst es ja versuchen! aber erst diesen Beweis noch
> richtig machen!
> b) majorante, indem man alle [mm](1/7)^n[/mm] durch [mm](1/3)^n[/mm] ersetzt
> ist richtig. danach geom. Reihe, du brauchst kein Wurzelkr.
> mehr. [mm] 1/(3^n)=(1/3)^n [/mm] ist eine geometrische Reihe, die gegen 1/(1-1/3)=1,5 konvergiert.
Mit Majorantenkrit. konvergiert auch [mm] 1/(7^n) [/mm] und damit auch die gesamte Reihe.
Man könnte es auch ohne das Majorantenkrit. zeigen, da ja [mm] (1/3)^n [/mm] und [mm] (1/7)^n [/mm] geometrische Reihen sind, oder?
Wäre mein Beiwes mit dem Wurzelkriterium trotzdem korrekt?
Ok, hab ich.
> c) der konvergenzradius ist richtig, er ist immer ne
> positive Zahl! für alle |x|<r konvergiert die reihe!
Also die Reihe hat den Konvergenzradius [mm] \bruch{x^2}{5} [/mm] auf dem Intervall [mm] (0,\wurzel{5}). [/mm] Darunter oder darüber ist sie divergent.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 So 10.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > hallo
> > zu 1a) betrachte zusätzlich die Reihe über lle
> geraden
> > n. wie groß ist die verglichen mit der über alle n?
> Versteh noch nicht ganz worauf du hinaus willst aber ich
> versuchs mal.
> für alle Geraden ist es [mm]\summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2[/mm] und
> die ist kleiner als die Reihe über alle k, da 2k > 2k-1.
wenn du Simme über [mm] 1/k^2 [/mm] kennst kannst du diese Reihe einfach ausrechnen!
> > dann
> > nimm die summe der 2 Reihen (über gerade und ungerade
> > zahlen. welchr reihe ist das?
> Wenn ich die beiden Addire komm ich auf
> [mm]\summe_{}^{}\bruch{6k^2-4k-1}{2k^2(2k-1)^2}[/mm]
Was hast du denn da gerechnet?
das versteh ich nicht, wenn du über alle geraden und über alle ungeraden [mm] 1/k^2 [/mm] summierst hast du doch über alle summiert?
>
> > b) die Summanden einer konvergenten Reihe müssen immer
> > gegen 0 konv. deshalb konv. doch die Reihe nicht gegen 0?
> Hmm ja stimmt ich habe [mm]a_n[/mm] als einzelnes Element gesehen,
> aber das ist ja ne ganze Folge.
nein es ist ne Reihe, die folge der [mm] a_n [/mm] muss gegen 0 konvergieren als notwendige Bedingung für die konvergenz der Reihe!!
> Nur damit ich es nicht mussverstehe. Wenn [mm]a_n=1/k[/mm] wäre,
> dann wäre [mm]a_{n+1}=1/(k+1)[/mm]
> > Genau dann muss man immer in 2 Schritten zeigen wenn,
> dann
> > und Nur wenn dann.
> > Du mußt benutzen, dass die Reihe über [mm]a_n[/mm]
> konvergiert,
> > was weisst du dann?
> Das dann auch [mm]a_{n+1}[/mm] konvergiert.
irgendwie redest du immer über die Summanden, du musst aber über die Reihe reden.
>Die Summe 2
> konvergenter Reihen ist auch konvergent. Allerdings haben
> wir den Beweis zur Summe konvergenter Reihen nicht
> gemacht.
dann hol das nach!
> Aber das folgt ja auch den Grenzwertsatz
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n,[/mm]
> oder?
siehe oben beide GW sind 0 aber daraus folgt noch nichts.
> Die Rückrichtung geht einfach umgekehrt?
> Wenn [mm]\summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n)[/mm] konvergiert, müssen beide
> Folgen auch konvergieren
Nein, die Rückrichtung ist falsch. [mm] \sum [/mm] (1/k+1-1/k ) konvergiert, aber [mm] \sum [/mm] 1/k nicht!
> > c) konvergenzradius hat nichts mit [mm]z^n[/mm] zu tun, sondern
> > gibt an für welche z die reihe konv. siehe die Definition
> > nach. Wurzel, ist ok
> Also lasse ich das [mm]z^n[/mm] komplett weg? Ich soll also zeigen,
> dass
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^ka_n}=p.[/mm]
>
> Wie soll ich dass den machen. Mir leuchtet die Gleichheit
> nicht ein, denn [mm]n^k[/mm] verändert doch den
> Grenzwert/Konvergenzradius?
Sicher habt ihr mal $lim [mm] \sqrt[n]{n}$ [/mm] bestimmt? denk dran, k ist endlich und fest!
> > 2. du musst das allgemein zeigen durch Abschätzen, mit
> > pünktchen und den ersten 3 i ist da nix los:
> Du machst doch im Grunde bei denen Primzahlen nichts
> anderes. Du betrachtest n=1,2....,9,....
>
> > Bsp alle
> > ungeraden zahlen (2n+1) sind primzahlen n=1 3 ist prim n=2
> > 5 ist prim usw... alle ungeraden Zahlen sind prim. noch ne
> > Stichprobe n=9 auch ok
> Wie kommst du denn auf (2n+1) und was das mit Primzahlen zu
> tun hat verstehe ich ehrlich gesagt auch noch nicht.
> > Wenn du die Reihe aus lauter Teilreihen >1/1000
> herstellen
> > kannst dann kannst du natürlich auch beweisen, dass sie
> > divergiert
> > was du mit " >1/1000 ist und immer größer wird. "
> > meinst, versteh ich nicht.
> Wenn eine Teilfolge von [mm]\summe_{}^{}1/k[/mm] > 1/1000 ist und
> man das eben unendlich oft summiert, kommt an ja auch auf
> eine Divergenz von [mm]+\infty.[/mm]
> Es ist also Prinzipiell egal welche Teilfolge ich genau
> betrachte, oder?
> Ich war mir da etwas unsicher, denn ich habe in allen
> Bücher immer den Beweis mit >1/2 gefunden.
Weil der schön einfach ist aber wenn was > 2 ist ists ja auch > 1/100
> > So wie gezeigt, kann man die divergenz zeigen, das
> heißt
> > doch nicht, dass man es nicht auch anders zeigen kann, du
> > kannst es ja versuchen! aber erst diesen Beweis noch
> > richtig machen!
> > b) majorante, indem man alle [mm](1/7)^n[/mm] durch [mm](1/3)^n[/mm]
> ersetzt
> > ist richtig. danach geom. Reihe, du brauchst kein Wurzelkr.
> > mehr. [mm]1/(3^n)=(1/3)^n[/mm] ist eine geometrische Reihe, die
> gegen 1/(1-1/3)=1,5 konvergiert.
> Mit Majorantenkrit. konvergiert auch [mm]1/(7^n)[/mm] und damit
> auch die gesamte Reihe.
> Man könnte es auch ohne das Majorantenkrit. zeigen, da ja
> [mm](1/3)^n[/mm] und [mm](1/7)^n[/mm] geometrische Reihen sind, oder?
> Wäre mein Beiwes mit dem Wurzelkriterium trotzdem
> korrekt?
> Ok, hab ich.
> > c) der konvergenzradius ist richtig, er ist immer ne
> > positive Zahl! für alle |x|<r konvergiert="" die="" reihe!="">
> Also die Reihe hat den Konvergenzradius [mm]\bruch{x^2}{5}[/mm] auf
Bein! die Reihe hat den Konvergenzradius [mm] \wurzel{5}
[/mm]
Du hast die def. von Konvergenzradius nicht nachgelesen!!
> dem Intervall [mm](0,\wurzel{5}).[/mm] Darunter oder darüber ist
> sie divergent.
so falsch, also lies nach, was ein Konvergenzradios ist!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 So 10.07.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo
>
> > > hallo
> > > zu 1a) betrachte zusätzlich die Reihe über lle
> > geraden
> > > n. wie groß ist die verglichen mit der über alle n?
> > Versteh noch nicht ganz worauf du hinaus willst aber
> ich
> > versuchs mal.
> > für alle Geraden ist es [mm]\summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2[/mm]
> und
> > die ist kleiner als die Reihe über alle k, da 2k > 2k-1.
> wenn du Simme über [mm]1/k^2[/mm] kennst kannst du diese Reihe
> einfach ausrechnen!
[mm] \summe_{}^{}1/k^2 [/mm] =s
Welche reihe ist jetzt "diese" ? [mm] \summe_{}^{}1/2k^2=1/2*s
[/mm]
> > > dann
> > > nimm die summe der 2 Reihen (über gerade und ungerade
> > > zahlen. welchr reihe ist das?
> > Wenn ich die beiden Addire komm ich auf
> > [mm]\summe_{}^{}\bruch{6k^2-4k-1}{2k^2(2k-1)^2}[/mm]
> Was hast du denn da gerechnet?
> das versteh ich nicht, wenn du über alle geraden und
> über alle ungeraden [mm]1/k^2[/mm] summierst hast du doch über
> alle summiert?
> >
Glaube wir reden aneinander vorbei. Ich hab die Reihe [mm] \summe_{}^{}1/(2k-1)^2 [/mm] betrachtet und du offenbar [mm] \summe_{}^{}1/k^2
[/mm]
> > > b) die Summanden einer konvergenten Reihe müssen immer
> > > gegen 0 konv. deshalb konv. doch die Reihe nicht gegen 0?
> > Hmm ja stimmt ich habe [mm]a_n[/mm] als einzelnes Element
> gesehen,
> > aber das ist ja ne ganze Folge.
> nein es ist ne Reihe, die folge der [mm]a_n[/mm] muss gegen 0
> konvergieren als notwendige Bedingung für die konvergenz
> der Reihe!!
Ich hab ja auch nur behauptet, das [mm] a_n [/mm] eine Folge ist.
> > Nur damit ich es nicht mussverstehe. Wenn [mm]a_n=1/k[/mm]
> wäre,
> > dann wäre [mm]a_{n+1}=1/(k+1)[/mm]
> > > Genau dann muss man immer in 2 Schritten zeigen
> wenn,
> > dann
> > > und Nur wenn dann.
> > > Du mußt benutzen, dass die Reihe über [mm]a_n[/mm]
> > konvergiert,
> > > was weisst du dann?
> > Das dann auch [mm]a_{n+1}[/mm] konvergiert.
> irgendwie redest du immer über die Summanden, du musst
> aber über die Reihe reden.
Ich weiß jetzt nicht mehr genau welche Folgerung von mir stimmt?
Also ist es korrekt wenn ich weiß, dass [mm] a_n [/mm] konvergiert, dass dann auch [mm] a_{n+1} [/mm] konvergieren muss?
> >Die Summe 2
> > konvergenter Reihen ist auch konvergent. Allerdings haben
> > wir den Beweis zur Summe konvergenter Reihen nicht
> > gemacht.
> dann hol das nach!
> > Aber das folgt ja auch den Grenzwertsatz
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n,[/mm]
> > oder?
> siehe oben beide GW sind 0 aber daraus folgt noch nichts.
Woher weißt du, dass die Grenzwerte 0 sind, wenn wir die Folge [mm] a_n [/mm] gar nicht kennen?
Wenn ich weiß, dass [mm] a_n [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] konvergieren, dann konvergiert auch die Reihe [mm] \summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n), [/mm] denn es gilt ja [mm] lim(a_{n+1}) -lim(a_n)= lim(a_{n+1}-a_n)
[/mm]
> > Die Rückrichtung geht einfach umgekehrt?
> > Wenn [mm]\summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n)[/mm] konvergiert, müssen
> beide
> > Folgen auch konvergieren
> Nein, die Rückrichtung ist falsch. [mm]\sum[/mm] (1/k+1-1/k )
Udn wie setzte ich dann für die Rückrichtung an?
> konvergiert, aber [mm]\sum[/mm] 1/k nicht!
> > > c) konvergenzradius hat nichts mit [mm]z^n[/mm] zu tun,
> sondern
> > > gibt an für welche z die reihe konv. siehe die Definition
> > > nach. Wurzel, ist ok
> > Also lasse ich das [mm]z^n[/mm] komplett weg? Ich soll also
> zeigen,
> > dass
> > und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{n^ka_n}=p.[/mm]
> >
> > Wie soll ich dass den machen. Mir leuchtet die Gleichheit
> > nicht ein, denn [mm]n^k[/mm] verändert doch den
> > Grenzwert/Konvergenzradius?
> Sicher habt ihr mal [mm]lim \sqrt[n]{n}[/mm] bestimmt? denk dran, k
> ist endlich und fest!
Ja ok, jetzt ahb ich's.
> > > c) der konvergenzradius ist richtig, er ist immer ne
> > > positive Zahl! für alle |x|<r konvergiert="" die=""
> reihe!="">
> > Also die Reihe hat den Konvergenzradius [mm]\bruch{x^2}{5}[/mm]
> auf
> Bein! die Reihe hat den Konvergenzradius [mm]\wurzel{5}[/mm]
> Du hast die def. von Konvergenzradius nicht nachgelesen!!
> > dem Intervall [mm](0,\wurzel{5}).[/mm] Darunter oder darüber ist
> > sie divergent.
> so falsch, also lies nach, was ein Konvergenzradios ist!
Ja ok, Konvergenzradius ist die größte Zahl >0, für die die Reihe konvergent ist. Jetzt hab ich das auch verstanden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Mo 11.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> > Hallo
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2[/mm]
ja, und die summe kannst du berechnen, wenn du [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}1/(k)^2$ kennst.$\summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2=$\summe_{k=1}^{\infty}1/4*1/k^2$ [/mm]
ach ausrechnen!
> [mm]\summe_{}^{}1/k^2[/mm] =s
> Welche reihe ist jetzt "diese" ? [mm]\summe_{}^{}1/2k^2=1/2*s[/mm]
Nein siehe oben
> > Was hast du denn da gerechnet?
> > das versteh ich nicht, wenn du über alle geraden und
> > über alle ungeraden [mm]1/k^2[/mm] summierst hast du doch über
> > alle summiert?
> > >
> Glaube wir reden aneinander vorbei. Ich hab die Reihe
> [mm]\summe_{}^{}1/(2k-1)^2[/mm] betrachtet und du offenbar
> [mm]\summe_{}^{}1/k^2[/mm]
nein, die erste sollst du berechnen, die 2 te kennst du
ausserdem kennst du die Summe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/(2k)^2
[/mm]
die beiden zusammen geben [mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/(k)^2
[/mm]
dann ist die Differenz...?
> > > > b) die Summanden einer konvergenten Reihe müssen
> immer
> > > > gegen 0 konv. deshalb konv. doch die Reihe nicht gegen 0?
> > > Hmm ja stimmt ich habe [mm]a_n[/mm] als einzelnes Element
> > gesehen,
> > > aber das ist ja ne ganze Folge.
> > nein es ist ne Reihe, die folge der [mm]a_n[/mm] muss gegen 0
> > konvergieren als notwendige Bedingung für die konvergenz
> > der Reihe!!
> Ich hab ja auch nur behauptet, das [mm]a_n[/mm] eine Folge ist.
> > > > was weisst du dann?
> > > Das dann auch [mm]a_{n+1}[/mm] konvergiert.
> > irgendwie redest du immer über die Summanden, du musst
> > aber über die Reihe reden.
> Ich weiß jetzt nicht mehr genau welche Folgerung von mir
> stimmt?
> Also ist es korrekt wenn ich weiß, dass [mm]a_n[/mm] konvergiert,
> dass dann auch [mm]a_{n+1}[/mm] konvergieren muss?
Ja beide konvergieren gegen 0
> > >Die Summe 2
> > > konvergenter Reihen ist auch konvergent. Allerdings haben
> > > wir den Beweis zur Summe konvergenter Reihen nicht
> > > gemacht.
> > dann hol das nach!
> > > Aber das folgt ja auch den Grenzwertsatz
> > >
> >
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}a_n+\limes_{n\rightarrow\infty}b_n,[/mm]
ann schreib das für Reihen auf! die Reihe kannst du ja als Folge von Teilsummen schreiben. und dann mit dem GW argumentieren.
> > > oder?
> > siehe oben beide GW sind 0 aber daraus folgt noch
> nichts.
> Woher weißt du, dass die Grenzwerte 0 sind, wenn wir die
> Folge [mm]a_n[/mm] gar nicht kennen?
Wenn die Summe über [mm] a_m [/mm] konvergiert MUSS [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergieren.
> Wenn ich weiß, dass [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] konvergieren, dann
> konvergiert auch die Reihe [mm]\summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n),[/mm] denn
> es gilt ja [mm]lim(a_{n+1}) -lim(a_n)= lim(a_{n+1}-a_n)[/mm]
nochmal du musst das für die reihe aufschreiben, nicht für die Summanden!
Wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert dann konvergiert doch noch nicht [mm] $\summe_{n=0}^{N}a_n$ [/mm]
> Die Rückrichtung geht einfach umgekehrt?
> > > Wenn [mm]\summe_{}^{}(a_{n+1}-a_n)[/mm] konvergiert, müssen
> > beide
> > > Folgen auch konvergieren
> Udn wie setzte ich dann für die Rückrichtung an?
du musst zeigen, wenn [mm] \summe a_n [/mm] nicht konvergiert, dann auch
[mm] \summe(a_n-a_n+1) [/mm] nicht
> Ja ok, jetzt ahb ich's.
>
<r konvergiert="" die="">
> > Bein! die Reihe hat den Konvergenzradius [mm]\wurzel{5}[/mm]
> > Du hast die def. von Konvergenzradius nicht
> nachgelesen!!
> Ja ok, Konvergenzradius ist die größte Zahl >0, für die
> die Reihe konvergent ist. Jetzt hab ich das auch
> verstanden.
schlecht ausgedrückt. richtig:
für alle |x|<r konvergiert die Rreihe, für x=-r und + r muss man das einzeln überprüfen (war hier nicht gefragt)
Gruss leduart
</r>
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