Aufgaben zur Kostenstruktur < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Kostenfunktion lautet: [mm]K(x) = x^3 - 10x^2 + 42x + 60[/mm]
und
die Gewinnfunktion lautet: [mm]G(x) = -x^3 + 6x^2 + 26x - 60[/mm]
a) Bestimmen Sie den ökonomischen Definitionsbereich und geben Sie Höchstpreis und Sättigungsmenge an.
b) Berechnen Sie den Cournotschen Punkt und den maximalen Gewinn.
c) Ermitteln Sie, im Bereich welcher Produktionsmengen degressiver und in welchem Bereich progressiver Kostenanstieg vorliegt.
d) Die Unternehmensleitung befürchtet, dass Konkurrenten ebenfalls ein vergleichbares Produkt auf dem Markt bringen könnten.
Könnte ein Konkurrenzunternehmen, welches ein vergleichbares Produkt zu einem Preis von 27,75 GE je ME abietet, kurzfristig vom obigen Unternehmen unterboten werden? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch und erläutern Sie die hier relevanten betriebswirtschaftlichen Zusammenhänge.
Könnte ein Konkurrenzunternehmen, welches ein vergleichbares Produkt zu einem Preis von 27,75 GE je ME anbietet, langfristig vom obigen Unternehmen unterboten werden? Erläutern Sie auch hier die betriebswirtschaftlichen Zusammenhänge. |
Ich bitte Euch um die Kontrolle meiner Ergebnisse und ggf. um Fehlerhinweise. Danke für Eure Bemühungen!
zu a)
E(x) = K(x) + G(x)
[mm]E(x) = -4x^2 + 68x[/mm]
[mm]p(x) = \bruch{E(x)}{x} = -4x + 68[/mm]
-4x + 68 = 0
=> x = 17
[mm]D_{\mbox{ök}} = [0;17][/mm]
Sättigungsmenge:
17 ME
Höchstpreis:
p(0) = 68 GE/ME
zu b)
[mm]G'(x) = -3x^2 + 12x + 26[/mm]
[mm]-3x^2 + 12x + 26 = 0[/mm]
=> x = 5,56 (x = 1,56 ist nicht im ökonomischen Definitionsbereich)
[mm]G''(x) = -6x + 12[/mm]
[mm]G''(5,56) = -21,36 < 0 \to HP (5,56 | 98,16)[/mm]
[mm]C (5,56 | 45,76)[/mm]
[mm]G_{max} (5,56|98,16)[/mm]
zu c)
[mm]K'(x) = 3x^2 - 20x + 42[/mm]
[mm]K''(x) = 6x - 20[/mm]
[mm]K'''(x) = 6[/mm]
6x - 20 = 0
=> x = [mm]3\bruch{1}{3}[/mm]
[mm]K'''(3\bruch{1}{3}) = 6 \neq 0 \to WP(3\bruch{1}{3}|125,93)[/mm]
[mm][0; 3\bruch{1}{3}][/mm] degressiv
[mm][3\bruch{1}{3}; 17] [/mm] progressiv
zu d)
[mm]k(x) = x^2 - 10x + 42 + \bruch{60}{x}[/mm]
[mm]k_{var} = x^2 - 10x + 42[/mm]
[mm]k_{var}'(x) = 2x-10[/mm]
[mm]k_{var}''(x) = 2[/mm]
2x - 10 = 0
=> x = 5 (gilt auch für Stückkostenfunktion)
[mm]k_{var}(5) = 17[/mm]
[mm]k(5) = 29[/mm]
Kurzfristig gesehen können wir bei einer Ausbringungsmenge von 5 ME 17 GE/ME verlangen. Damit könnten wir das Konkurrenzunternehmen kurzfristig unterbieten.
Die kurzfristige Preisuntergrenze bzw. die dazu gehörige Produktionsmenge Betriebsminimum deckt jedoch nur die variablen Stückkosten. Die fixen (Stück)kosten werden hierbei nicht gedeckt.
Daher kann das Unternehmen diese kurzfristige Preisuntergrenze nur für einen relativ kurzen Zeitraum beibehalten, nicht jedoch auf Dauer etablieren.
Langfristig gesehen können wir bei einer Ausbringungsmenge von 5 ME 29 GE/ME verlangen. Damit könnten wir das Konkurrenzunternehmen langfristig nicht unterbieten.
Die langfristige Preisuntergenze bzw. die dazu gehörige Produktionsmenge Betriebsoptimum deckt sowohl die variablen als auch die fixen Stückkosten und kann daher auf Dauer etabliert werden — das Unternehmen kann bei diesem Preis also sämtliche anfallende Stückkosten decken.
|
|
| |
|
Hi Patrick,
> zu a)
>
> E(x) = K(x) + G(x)
> [mm]E(x) = -4x^2 + 68x[/mm]
>
> [mm]p(x) = \bruch{E(x)}{x} = -4x + 68[/mm]
>
> -4x + 68 = 0
> => x = 17
>
> [mm]D_{\mbox{ök}} = [0;17][/mm]
>
> Sättigungsmenge:
> 17 ME
>
> Höchstpreis:
> p(0) = 68 GE/ME
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> zu b)
>
> [mm]G'(x) = -3x^2 + 12x + 26[/mm]
>
> [mm]-3x^2 + 12x + 26 = 0[/mm]
> => x = 5,56 (x = 1,56 ist nicht im ökonomischen
> Definitionsbereich)
>
> [mm]G''(x) = -6x + 12[/mm]
>
> [mm]G''(5,56) = -21,36 < 0 \to HP (5,56 | 98,16)[/mm]
>
>
> [mm]C (5,56 | 45,76)[/mm]
>
> [mm]G_{max} (5,56|98,16)[/mm]
... aber gewöhn Dir gleich bitte an, die Ergebnisse im Bruchdarstellung darzustellen, sonst sind die Ergebnisse genau genommen nicht richtig (Rundungsfehler).
> zu c)
>
> [mm]K'(x) = 3x^2 - 20x + 42[/mm]
>
> [mm]K''(x) = 6x - 20[/mm]
>
> [mm]K'''(x) = 6[/mm]
>
> 6x - 20 = 0
> => x = [mm]3\bruch{1}{3}[/mm]
>
> [mm]K'''(3\bruch{1}{3}) = 6 \neq 0 \to WP(3\bruch{1}{3}|125,93)[/mm]
>
>
> [mm][0; 3\bruch{1}{3}][/mm] degressiv
>
> [mm][3\bruch{1}{3}; 17][/mm] progressiv
... und die Progressivität der Funktion gibt Dir nun was an? ^^
> zu d)
>
> [mm]k(x) = x^2 - 10x + 42 + \bruch{60}{x}[/mm]
>
> [mm]k_{var} = x^2 - 10x + 42[/mm]
>
> [mm]k_{var}'(x) = 2x-10[/mm]
>
> [mm]k_{var}''(x) = 2[/mm]
>
> 2x - 10 = 0
> => x = 5 (gilt auch für Stückkostenfunktion)
>
>
> [mm]k_{var}(5) = 17[/mm]
>
> [mm]k(5) = 29[/mm]
Viele Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Hi Analytiker,
danke für's Helfen.
Heute habe ich meine Mathe-Abiklausur geschrieben, u. a. zu diesem Thema.
> ... aber gewöhn Dir gleich bitte an, die Ergebnisse im
> Bruchdarstellung darzustellen, sonst sind die Ergebnisse
> genau genommen nicht richtig (Rundungsfehler).
Stimmt. Allerdings hat man mir mal beigebracht, bei solchen Aufgaben mit ökonomischem Bezug die Dezimalschreibweise zu verwenden und auf zwei Stellen nach dem Komma zu runden. Das wurde dann damit begründet, dass 1,5 ME aussagekräfiger wären als [mm]1\bruch{1}{2}[/mm] ME. Eine etwas schwammige Begründung, ich weiß — aber der Lehrkörper ist der Scherrif. 
> ... und die Progressivität der Funktion gibt Dir nun
> was an? ^^
Progressivität heißt ja, dass da eine Linkskrümmmung besteht. Das bedeutet also, dass die Kosten von dort an beginnen zu steigen. Zumindest würde ich das aus dem graphischen Zusammenhang, den ich dabei im Kopf habe, ableiten.
|
|
|
|
