Aufgaben zur Kreisbewegung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im Jahr 1952 entwarf Wernher von Braun das Konzept einer Raumstation in Form eines großen Rades.
Durch eine Drehbewegung der Station sollte eine
Art künstliche Schwerkraft auf der “Lauffläche” dieses Rades erzeugt werden.
1. Wo ist im Ringtunnel der Fußboden angeordnet?
2. Nehmen Sie an, diese Station hat einen Durchmesser
von 80m und es soll eine Beschleunigung erzeugt werden, die den Verhältnissen auf der Erde entspricht [mm] (g\approx{10}\bruch{m}{s^2}). [/mm] Mit welcher Tangentialgeschwindigkeit v bewegt sich
ein Insasse dieser Raumstation?
3. Berechnen Sie die dafür erforderliche Kreisfreqeunz. Wie viele Umdrehungen pro Minute der Station entspricht dies?
4. Wie schwer fühlt sich ein Astronaut mit der
Masse 75 kg wenn er auf dem Tunnelboden im Drehsinn der Station mit [mm] 20\bruch{m}{s} [/mm] entlangfährt.
Wie viel wiegt er, wenn er gleich schnell in die andere Richtung fährt?
5. Wenn man eine größere Raumstation bauen
wollte, z. B. mit 160m Durchmesser, wie muss
man [mm] \omega [/mm] ändern? |
Hallo.
Um mich auf anstehende Klausuren vorzubereiten, übe ich gerade etwas.
Die oben beschriebenen Aufgaben passen gut zu unserem Stoff.
Hier meine Lösungsideen:
1.
Annahme: Die Station dreht sich.
D.h Massenteilchen erfahren eine Zentripetalbeschleunigung.
Somit ist [mm] a_{r}=\bruch{v^2}{r}.
[/mm]
Die Station bewegt sich kreisförmig. Damit wird die Position jeder Wand, jedes Fensters etc. in einem bestimmten Zeitabschnitt geändert (von außen betrachtet).
Sitzt ein Beobachter hingegen innen und bewegt sich nicht, erfährt er auch keine Änderung. Nur, wenn es aus einem Fenster schauen würde, würde er sehen, dass sich die Position der Station ändert.
Aber selbst hier könnte er sagen, dass die Station ihre Position nicht ändert, sondern der Raum in dem sich die Station befindet (Weltall).
-> Sind diese Vermutungen richtig?
Wie beschrieben wirkt eine Beschleunigung. Von außen betrachtet ist diese Beschleunigung zum Mittelpunkt der Station gerichtet. Ebenso die wirkende Zentripetalkraft. Diese bewirkt ja, dass die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben.
Könnte man jetzt so argumentieren, dass diese Kreisbahn, dem Radius r entspricht und der durch die Außenwand gegeben ist, sodass der Laufboden die Außenwand ist.
Von Innen betrachtet würde ein Mensch eine Zentrifugalkraft erfahren, die ihn gegen die Außenwand drücken würde, oder?
2.
Gegeben
d=80m
r=40m
[mm] g\approx10\bruch{m}{s^2}
[/mm]
gesucht= [mm] a_{r}=g=\bruch{v^2}{r}
[/mm]
[mm] 10\bruch{m}{s^2}*{40m}=v^2
[/mm]
[mm] \wurzel{10\bruch{m}{s^2}*40{m}}=v
[/mm]
[mm] v=20\bruch{m}{s}
[/mm]
3.
Die Kreisfrequenz gibt an welcher Winkel in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird.
[mm] \omega=\bruch{2\pi}{T}
[/mm]
T entspricht dabei der Zeit, die gebraucht wird um den Kreis einmal zu umrunden.
Der Kreis hat eine Bogelänge [mm] b=2\cdot\pi\cdot{r}
[/mm]
Die Geschwidigkeit beträgt [mm] v=20\bruch{m}{s}.
[/mm]
Mit dieser Geschwindigkeit wird b in einer bestimmten Zeit zurückgelegt.
v*T=b [mm] \rightarrow \bruch{b}{v}=T\approx{12.56s}
[/mm]
[mm] \omega=\bruch{2\pi}{T}\approx{0.5}
[/mm]
Eine Umrundung dauert 12.56s. [mm] \bruch{60}{12.56}\approx 4.7\approx [/mm] 5.
Scheinbar werden 5 Umrdungen in dieser Dauer geschafft.
4.
m=75kg.
Gewichtskraft auf der Erde [mm] \vec{F_{G}}=m*g=750N
[/mm]
Im Tunnel wirkt eine Beschleunigung von
[mm] a_{r}=\bruch{v^2}{r}=10\bruch{m}{s^2}.
[/mm]
Ich bin mir nicht so sicher, was hier jetzt : Wenn er mit [mm] 20\bruch{m}{s} [/mm] entlangfährt heißen soll.
Entweder es bezieht sich auf die Bewegung der Station, dann hat er genau die selbe Gewichtskraft.
Denn [mm] a_{R}=\bruch{20^2}{40}=10\bruch{m}{s^2}
[/mm]
Oder es ist gemeint, dass zusätzlich zur Beschleunigung der Station die Person am Boden "entlangfährt" mit eben [mm] 20\bruch{m}{s}=kons
[/mm]
Aber selbst dann würde er ja eine konstante Geschwindigkeit haben und keine Beschleunigung erfahren.
Wenn er in die andere Richtung fährt ist (Gewichtskraft Weltall) [mm] \vec{F_{Gw}}=m*\vec{-a_{R}}, [/mm] somit wäre der Betrag gleich der Gewichtskraft auf der Erde.
Hier bin ich gerade ratlos.
5.
Die Aufgabe verstehe ich auch nicht wirklich.
Wie muss man [mm] \omega [/mm] ändern um was zu erreichen?
Soll die Zentripetalbeschleunigung gleich bleiben? Soll sie gleich der Erdanziehungskraft sein?
Sollte dies der Fall sein so gilt ja: [mm] a_{R}=g
[/mm]
[mm] a_{R}=\bruch{v^2}{r} [/mm] mit r=80m [mm] \Rightarrow v^2=80*10 \Rightarrow v=\wurzel{800}
[/mm]
Ferner: [mm] \bruch{2\pi{r}}{T}=v \Rightarrow \bruch{2\pi{r}}{v}=T\approx{0.39sec}
[/mm]
Sind meine Überlegungen so richtig?
Ich würde mich über eine Kontrolle der Aufgabe sehr freuen.
Natürlich müsst ihr nicht alle Aufgaben gleichzeitig beantworten :).
Viele Grüße und danke im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:20 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Masseltof,
Deine Überlegungen und Antworten zu den ersten drei Fragen sind in Ordnung. Bei der Frage der Bewegung musst Du berücksichtigen, dass eine beschleunigte Bewegung dann erreicht ist, wenn sich die Geschwindigkeit ändert. Die Geschwindigkeit ist ein Vektor und dessen Richtung ändert sich sicherlich, wenn diese Person auf dem "Tunnelboden" entlangfährt.
Die fünfte Frage ist etwas unglücklich gestellt, bezieht sich im Kontext aber sicher auf den Wunsch, die gleiche Erdbeschleunigung zu erzielen wie in einer Station mit 80 m Durchmesser. Einsetzen von [mm] v = \omega r [/mm] in Deine erste Gleichung führt sofort zum Ergebnis.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo und danke für die Antwort.
Zunächst zur 5:
Die Formel [mm] \omega\cdot{r}=v [/mm] gilt nur für konstante Geschwindigkeiten, oder?
[mm] a_{r}=\bruch{v^2}{r}
[/mm]
[mm] \omega\cdot{r}=v
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{a_{r}}{r}}=\omega
[/mm]
Zur 4:
Ich bin mir bewusst, dass es sich bei Beschleunigung und Geschwindigkeit um Vektoren handelt und im Kreis, bei gleicher Geschwindigkeit, ändert sich die Beschleunigung dauerhaft. Der Geschwindigkeitsvektor steht dabei stets senkrecht zum Radius.
Leider weiß ich nicht so ganz, ob die Person sich selbst bewegt (also in einem beschleunigten Bezugssystem bewegt) oder ein Außenstehnder eine Bewegung der Person sieht.
Bewegt sich die Person nicht, sondern steht auf einem Massenpunkt welcher sich bewegt, so erfährt die Person die gleiche Beschleunigung, wie auch die gleiche Geschwindigkeit wie dieser Massenpunkt.
Ändert hingegen die Person im beschleunigten Bezugssystem ihre Position (also übt hier selbst eine Geschwindigkeit aus), so wird sich wohl die Beschelunigung ebenso ändern.
Die errechnete Geschwindigkeit v für die Station beträgt [mm] 20\bruch{m}{s}.
[/mm]
In jeder Sekunde ändert sich also die Position eines Massenteilchens um 20m.
Ebenso ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit -> Beschleunigung.
Ein in der Station am Fenster stehender Mensch sieht, dass sich die Position der Station ändert. Bewegt er sich jetzt selbst noch [mm] 20\bruch{m}{s} [/mm] so müsste sich die Gesamtposition des Menschen doch theoretisch durch Addition der Geschwindigkeit der Raumstation und des Menschen ändern, oder?
Nur wie addiert man in einem solchen Fall die Vektoren? Sie zeigen ja in unterschiedliche Richtungen.
Ich bin etwas verwirrt und würde mich über Hilfe sehr freuen.
Viele Grüße und danke im Voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Masseltof,
in der dritten Aufgabe bewegt sich ein Körper in einem rotierenden Bezugssystem. Bei solch einer Bewegung tritt neben der Zentrifugalkraft, die hier für die Simulation der Erdanziehung genutzt wird, eine weitere Trägheits- oder Scheinkraft auf, die sogenannte Korioliskraft.
Jetzt solltest Du weiterkommen.
Masel tov beim Berechnen wünscht
Infinit
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Hallo Infinit und danke für die Antwort.
Die Coriolis-Kraft haben wir in der Vorlesung nur kurz angeschnittenund einfach die Formel dafür aufgeschrieben:
[mm] \vec{F_{c}}=2m(\vec{v}x\vec{w}).
[/mm]
Die Masse des Menschen beträgt 75kg.
Und jetzt weiß ich nicht wirklich wie ich weitermachen soll.
[mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{\omega} [/mm] haben Beträge und Richtungen.
Der Betrag von [mm] v=20\bruch{m}{s}, [/mm] oder?
Aber welche Richtungen schlägt denn der Mensch ein? Ich weiß gar nicht wie ich mir das so richtig vorstellen soll...
Bewegt der Mensch sich denn weiterhin kreisförmig, sodass [mm] \vec{v} [/mm] senkrecht zum Radius r steht?
Und wie soll ich denn [mm] \vec{\omega} [/mm] beschreiben? Wenn mein Rotationsachse die y-Achse ist, so hat [mm] \vec{\omega} [/mm] doch nur die Komponente [mm] \omega*\vec{e_{y}}, [/mm] oder?
Ich würde mich über eine Erklärung wirklich sehr freuen, da wir dieses Thema nicht so ausführlich in der Vorlesung behandelt haben (eher so 3Minuten).
Viele Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 So 23.01.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Masseltoff,
worüber wir uns zuerst mal klar werden sollten, ist, in welche Richtung diese Corioliskraft zeigt. Der Mensch bewegt sich weiterhin auf einer Kreisbahn und sein Geschwindigkeitsvektor ist senkrecht zum Radius. Jetzt kommt es darauf an, welchen Richtungssinn man der Winkelgeschwindigkeit der drehenden Raumstation zuordnet. Hier gilt die Rechte-Faust-Regel. Zeigen die Finger Deiner rechten Hand in Drehsinnrichtung, so zeigt der Daumen die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an. In der Aufgabe ist kein Drehsinn angegeben, aber einmal bewegt sich der Mensch mit der Station, einmal entgegen zu ihr. Nehmen wir mal an, die Raumstation liegt platt wie auf einem Teller und dreht sich entgegen dem Uhrzeigersinn (sozusagen linksrum), so zeigt der Winkelschwindigkeitsvektor nach oben. Wenn Du nun die Rechte-Handel-Regel anwendest, um zu bestimmen, in welche Richtung Dein Kreuzprodukt [mm] (\vec{v} \times \vec {\omega}) [/mm] zeigt, so zeigt die Corioliskraft in Richtung des Radiusses nach außen, bei entgegengesetzter Laufrichtung entsprechend nach innen, auf den Drehpunkt der Station zu.
Jetzt siehst Du schon, dass dann dabei unterscheidliche Ergebnisse für das Gewicht des Insassen raumkommen werden, denn der fühlt als Gewicht die Kraft, mit der er in Richtung des Radiusses auf die Lauffläche drückt.
Viele Grüße,
Infinit
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