Aufleiten von Brüchen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. [mm] \integral_{-3}^{-5}{1/((2-x)^2) dx}
[/mm]
2. Integral von -2 bis 0 von [mm] -2/((1-x)^3) [/mm] dx
3. Integral von 1 bis 6 von 1/(Wurzel(x)) dx |
hallo. ich schreibe morgen eine mathelk. bis jetzt habe ich stammfunktionen gut verstanden. doch bei diesen gebrochenrationalen funktionen happerts. ich hab keine ahnung wie ich diese brüche aufleiten muss. gibt es da eine allgemeine vorgehensweise? ich habe in andern foren was von substitution oder ln gehört. doch darüber hat mein lehrer noch kein wort verloren.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Di 29.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1. [mm]\integral_{-3}^{-5}{1/((2-x)^2) dx}[/mm]
> 2. Integral von -2
> bis 0 von [mm]-2/((1-x)^3)[/mm] dx
> 3. Integral von 1 bis 6 von 1/(Wurzel(x)) dx
> hallo. ich schreibe morgen eine mathelk. bis jetzt habe
> ich stammfunktionen gut verstanden. doch bei diesen
> gebrochenrationalen funktionen happerts. ich hab keine
> ahnung wie ich diese brüche aufleiten muss. gibt es da
> eine allgemeine vorgehensweise? ich habe in andern foren
> was von substitution oder ln gehört. doch darüber hat
> mein lehrer noch kein wort verloren.
Du kannst im Wesentlichen die Regel [mm] $1/a^r=a^{-r}$ [/mm] benutzen und dann wie gewohnt integrieren ("aufleiten" ist ein UNWORT!!).
Beachte aber, dass es einen Sonderfall gibt: [mm] $\int 1/xdx=\int x^{-1}dx=\ln(x)\,.$
[/mm]
P.S.
Natürlich sind auch andere Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen hilfreich:
Beispiele:
[mm] $$1.)\;\;\;\;\;\int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=\int \frac{1}{x^{1/2}}dx=\int x^{-1/2}dx=\frac{1}{-1/2\;+\;1}*x^{-1/2\;+\;1}=2x^{1/2}=2\sqrt{x}\,.$$
[/mm]
[mm] $$2.)\;\;\;\;\;\int \frac{1}{\sqrt{1-2x}}dx=\int (1-2x)^{-1/2}dx$$
[/mm]
und nun kannst Du etwa $u=u(x):=1-2x$ substituieren, dann folgt $du=-2dx$ und damit
[mm] $$=\int u^{-1/2}\frac{du}{-2}=\frac{1}{-2}*2\sqrt{u}=-\sqrt{1-2x}\,.$$
[/mm]
P.P.S.
Ich habe es mir erspart, eine additive konstante (Funktion) bei der Berechnung von [mm] $F=\int [/mm] f$ symbolisch dazuzuaddieren. Mit anderen Worten: [mm] $\int [/mm] f(x)dx=F(x)$ bedeutet bei mir, dass [mm] $x\mapsto [/mm] F(x)$ EINE Stammfunktion von $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)$ ist!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
okay, dankeschön! Ich habe mal die erste Funktion integriert :) aber mein CAS spuckt mir eine ganz andere Lösung raus :( mein Rechenweg:
[mm] \bruch{1}{(2-x)^{2}} [/mm] = [mm] (2-x)^{-2}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] -\bruch{1}{1} [/mm] * [mm] (2-x)^{-1}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2}*(2-x) [/mm] --> ausklammern?
-1 * [mm] \bruch{1}{2}x
[/mm]
F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x
[/mm]
Entschuldigung, aber ich bin wirklich so eine Person die absolut überhaupt kein Mathe kann :'(
|
|
|
| |
|
Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> okay, dankeschön! Ich habe mal die erste Funktion
> integriert :) aber mein CAS spuckt mir eine ganz andere
> Lösung raus :( mein Rechenweg:
>
> [mm]\bruch{1}{(2-x)^{2}}[/mm] = [mm](2-x)^{-2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]-\bruch{1}{1}[/mm] * [mm](2-x)^{-1}[/mm]
>
Die Regel für Potenzfunktionen besagt ja:
[mm]\integral{x^q dx}=\bruch{1}{q+1}*x^{q+1}+C[/mm]
es wird also durch die neue Hochzahl dividiert. Bedenke weiter, dass diese neue Hochzahl ebenfalls negativ ist, dass aber wegen der Verkettung mit innerer linearer Funktion auch noch durch die negative 1. Ableitung der inneren Funktion dividiert werden muss!
> [mm]-\bruch{1}{2}*(2-x)[/mm] --> ausklammern?
>
> -1 * [mm]\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> F(x) = [mm]-\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> Entschuldigung, aber ich bin wirklich so eine Person die
> absolut überhaupt kein Mathe kann :'(
Solche Tiere jibt et nich.* 
Gruß, Diophant
*Bismarck
|
|
|
| |
|
dann bin ich wohl ein solches Tier :D
ABER DANKEEE.
du hast Licht ins Dunkle gebracht!
ich sitz heute schon den ganzen Tag an Mathe und langsam mach ich einfach dumme Fehler.
Danke! :)))
|
|
|
|
