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| Aufgabe | Sei K ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass die Gruppe
[mm] G=\{\pmat{ a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }: a \in K\setminus \{0\}, b, c \in K\}
[/mm]
auflösbar ist. (Bemerkung: Sie brauchen nicht zu zeigen, dass G eine Untergruppe von GL(3,K) ist.) |
Hallo,
könnte man hier nicht einfach schreiben:
Die Gruppe GL(3,K) ist bezüglich der Addition kommutativ, also GL(3,K) abelsch. Folglich ist GL(3,K) auflösbar, da gilt:
[mm] GL(3,K)=K^{0}(GL(3,K)) \supset K^{1}(GL(3,K)) [/mm] = [mm] \{e\}
[/mm]
Und da jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe auch auflösbar ist, folgt die Behauptung.
Wäre das so OK?
LG
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Hallo,
> Sei K ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass die Gruppe
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> [mm]G=\{\pmat{ a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }: a \in K\setminus \{0\}, b, c \in K\}[/mm]
>
> auflösbar ist. (Bemerkung: Sie brauchen nicht zu zeigen,
> dass G eine Untergruppe von GL(3,K) ist.)
> Hallo,
>
> könnte man hier nicht einfach schreiben:
Nein.
> Die Gruppe GL(3,K) ist bezüglich der Addition kommutativ,
aber keine Gruppe.
> also GL(3,K) abelsch. Folglich ist GL(3,K) auflösbar, da
> gilt:
> [mm]GL(3,K)=K^{0}(GL(3,K)) \supset K^{1}(GL(3,K))[/mm] = [mm]\{e\}[/mm]
> Und da jede Untergruppe einer auflösbaren Gruppe auch
> auflösbar ist, folgt die Behauptung.
>
> Wäre das so OK?
>
> LG
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Stimmt, hast recht. Die Menge G ist keine Gruppe bzgl der Addition. Existiert ja kein neutrales Element..
Gut, die Menge der invertierbaren Matrizen bildet eine Gruppe bzgl der Multiplikation, ist aber nicht abelsch.
Jetzt hab ich grad ueberhaupt gar keinen Ansatz...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Di 13.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Jetzt hab ich grad ueberhaupt gar keinen Ansatz...
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>
In solchen Faellen einfach die Definition anwenden: berechne mal den Kommutator [mm] $[\pmat{ a & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, \pmat{ a' & b' & c' \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }]$, [/mm] vielleicht kannst du dann etwas ueber [mm] $K^{1}(G)$ [/mm] aussagen. Allzu lange wird die Normalteilerreihe schon nicht werden...
Alternativ: erkennst du irgendwelche nicht trivialen Normalteiler von $G$? Vielleicht ist ja einer dabei, der eine abelsche Faktorgruppe hat.
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Hi,
also ein nicht trivialer Normalteiler wäre [mm] N=\{\pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }| a \in K\}
[/mm]
Nur wie könnte ich jetzt prüfen, ob G/N abelsch ist? Denn wie sieht die Faktorgruppe bei Matrizen eig genau aus?
Wäre das letztendlich folgendermaßen? [mm] \pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] + [mm] \pmat{ b-1 & c & d-a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:33 Mi 14.05.2014 | | Autor: | hippias |
> Hi,
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> also ein nicht trivialer Normalteiler wäre [mm]N=\{\pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }| a \in K\}[/mm]
>
Ich habe nicht ueberprueft, ob $N$ normal ist, glaube es dir aber.
> Nur wie könnte ich jetzt prüfen, ob G/N abelsch ist?
Ueberpruefe ob $N$ alle Kommutatoren enthaelt. Oder: Vielleicht findest du ja auch schnell ein Komplement von $N$ in $G$? Also etwa $G= NH$. Dann waere [mm] $G/N\cong [/mm] H$, sodass $G/N$ genau dann abelsch ist, wenn $H$ es ist.
> Denn
> wie sieht die Faktorgruppe bei Matrizen eig genau aus?
So wie sonst auch.
>
> Wäre das letztendlich folgendermaßen? [mm]\pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> + [mm]\pmat{ b-1 & c & d-a \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] ?
Immer dran denken: deine Verknuepfung ist die Multiplikation.
>
> LG
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Super, danke für den Tipp!
Habe alles nochmal mit einem anderen Normalteiler ausprobiert:
[mm] N_{1}=\{ \pmat{ 1 & b & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } | b,c \in K \}
[/mm]
Das Komplement [mm] H=\{ \pmat{ a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }| a \in K\}
[/mm]
Es gilt [mm] G=N_{1}H, [/mm] mit H abelsch. [mm] G/N_{1} \cong [/mm] H, also [mm] G/N_{1} [/mm] abelsch
[mm] N_{2}=\{\pmat{ 1 & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}|b \in K\}
[/mm]
[mm] N_{1}=N_{2}F, [/mm] mit [mm] F=\{ \pmat{ 1 & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}| c \in K\}
[/mm]
F abelsch, also [mm] N_{1}/N_{2} \cong [/mm] F abelsch
Ja und [mm] N_{3}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] Normalteiler von [mm] N_{2} [/mm] und [mm] N_{2}/N_{3} =N_{2} [/mm] abelsch. Also existiert eine Kette
G [mm] \supset N_{1} \supset N_{2} \supset N_{3} [/mm] = [mm] E_{3}, [/mm] mit
[mm] N_{i+1} [/mm] Normalteiler von [mm] N_{i} [/mm] und [mm] N_{i}/N_{i+1} [/mm] abelsch.
Also G auflösbar
Müsste doch jetzt so richtig sein.
Danke für die Hilfe!
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 16.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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