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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 So 31.07.2011 | | Autor: | tinakru |
| Aufgabe | | Zeigen sie dass die [mm] S_{4} [/mm] auflösbar ist indem sie eine Normalreihe angeben. |
Guten Morgen,
ich habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst an der Uni, hätte nur ne klitzekleine :) Frage dazu.
Das Normalteilersymbol habe ich leider in der Liste nicht entdeckt, habe im Folgenden dafür das kleiner zeichen < verwendet.
Wir haben dazu die Normalreihe
{e}< N < V4 < A4 < S4
angegeben mit N = <(12)(34)> und [mm] V_{4} [/mm] ist die Untergruppe mit 4 Elementen.
Meine Frage: Hätte nicht diese Normalreihe auch genügt:
{e}< V4 < A4 < S4
Also ohne N.
Es gilt nämlich [V4 : {e}] = 4 und wir wissen, dass alle Gruppen der Ordnung 4 abelsch sind.
Muss diese Kette immer größtmöglich sein, oder reicht auch die kleinstmöglich, also hauptsache die Restklassengruppen [mm] N_{i} [/mm] / [mm] N_{i+1} [/mm]
sind abelsch.
Danke
LG
Tina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:44 So 31.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Tina!
> Zeigen sie dass die [mm]S_{4}[/mm] auflösbar ist indem sie eine
> Normalreihe angeben.
>
> ich habe die Aufgabe eigentlich schon gelöst an der Uni,
> hätte nur ne klitzekleine :) Frage dazu.
>
> Das Normalteilersymbol habe ich leider in der Liste nicht
> entdeckt, habe im Folgenden dafür das kleiner zeichen <
> verwendet.
>
> Wir haben dazu die Normalreihe
>
> {e}< N < V4 < A4 < S4
>
> angegeben mit N = <(12)(34)> und [mm]V_{4}[/mm] ist die Untergruppe
> mit 4 Elementen.
>
> Meine Frage: Hätte nicht diese Normalreihe auch genügt:
>
> {e}< V4 < A4 < S4
>
> Also ohne N.
Ja.
> Es gilt nämlich [V4 : {e}] = 4 und wir wissen, dass alle
> Gruppen der Ordnung 4 abelsch sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss diese Kette immer größtmöglich sein, oder reicht
> auch die kleinstmöglich, also hauptsache die
> Restklassengruppen [mm]N_{i}[/mm] / [mm]N_{i+1}[/mm]
> sind abelsch.
Es reicht auch die kleinstmoegliche Kette. Manche geben halt gern eine laengstmoegliche Kette an (die dann auch eine Kompositionsreihe ist), also bei aufloesbaren Gruppen laeuft es darauf hinaus dass die Quotienten zyklisch von Primzahlordnung sind. Aber um zu schauen ob die Gruppe aufloesbar ist muss man das nicht.
LG Felix
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