Auflösbarkeit eines Polynoms < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
das irreduzible Polynom f = [mm] x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 [/mm] aus Q[x] soll angeblich durch Radikale auflösbar sein. Leider habe ich keine Idee, wie man das sieht.
Wenn es auflösbar ist, muss es ja eine iterierte Wurzelerweiterung über Q geben, die einen Zerfällungskörper von f enthält. Konkret weiss ich aber nicht, wie mir das bei der Beantwortung nach der Auflösbarkeit helfen soll.
Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen, würde mich jedenfalls sehr freuen!
Gruß, mathehorst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Mo 18.09.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
zunächst eine Nachfrage zum Verständnis:
f ist sicher über [mm] \IC [/mm] reduziebel/auflösbar wegen des Fundamentalsatzes der Algebra. Da die Koeffizienten von f aus [mm] \IR [/mm] stammen gilt, dass f höchstens in Polynome vom Grad = 2 zerfallen kann (da zu z auch [mm] \overline{z} [/mm] NS von f ist). Wegen Grad f =6 könnte dann 3*2 als Auflösung gelten. Die Teilpolynome haben eine Auflösung - [mm] \bruch{p}{2} \pm \wurzel{( \bruch{p}{2} )^2 - q}
[/mm]
Jetzt können diese auch identisch sein, wegen der möglichen algebraischen Vielfachheit der Nullstellen, muß aber nicht sein.
Jedenfalls könnte so eine Erweiterung von [mm] \IQ [/mm] bestimmt werden, die Zerfällungskörper ist.
Hoffe es hilft, sonst bitte erneut fragen.
Ron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:08 Di 19.09.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo mathehorst!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> das irreduzible Polynom f = [mm]x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1[/mm] aus
> Q[x] soll angeblich durch Radikale auflösbar sein. Leider
> habe ich keine Idee, wie man das sieht.
> Wenn es auflösbar ist, muss es ja eine iterierte
> Wurzelerweiterung über Q geben, die einen Zerfällungskörper
> von f enthält. Konkret weiss ich aber nicht, wie mir das
> bei der Beantwortung nach der Auflösbarkeit helfen soll.
> Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen, würde mich
> jedenfalls sehr freuen!
Die Frage ist ja erstmal, wie die Nullstellen aussehen. Es ist $(x - 1) [mm] (x^6 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1) = [mm] x^7 [/mm] - 1$. Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in [mm] $\IQ[x]$ [/mm] hat also [mm] $x^6 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ alle Nullstellen von [mm] $x^7 [/mm] - 1$ bis auf $1$ (da $1$ keine NSt von [mm] $x^6 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ ist, ist dies klar).
(Wie ich auf die Idee gekommen bin, mit $x - 1$ zu multiplizieren? Das ist ein Standardtrick, wenn man den ein paarmal gesehen hat kennt man ihn  Wenn du dir z.B. den Beweis anschaust, dass fuer jede Primzahl $p$ das Polynom [mm] $x^{p-1} [/mm] + [mm] x^{p-2} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + x + 1$ irreduzibel ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist, dann siehst du auch diesen Trick in Aktion zusammen mit dem Eisensteinkriterium.)
Die Nullstellen von [mm] $x^6 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + 1$ sind also gerade die siebten Einheitswurzeln [mm] $\neq [/mm] 1$! Insbesondere sind sie alle Potenzen von einer primitiven 7. Einheitswurzel, etwa von [mm] $\zeta_7 [/mm] = [mm] \exp\left(\frac{2 \pi i}{7}\right)$, [/mm] womit der Zerfaellungskoerper gerade [mm] $\IQ[\zeta_7]$ [/mm] ist.
Damit solltest du jetzt weiterkommen 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 19.09.2006 | | Autor: | mathehorst |
Hallo Felix,
vielen Dank! Diese Idee hab ich nicht gehabt, aber so ist es natürlich einfach einzusehen! Da hätte man sofort auf die geometrische Reihe kommen müssen!!
Gruß, mh
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