Auflösen einer Gleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Di 15.04.2008 | | Autor: | deex |
| Aufgabe | Geben Sie die Gleichung in der Form y = f(x) an.
Stellen Sie, wenn möglich, diese Gleichung in einem x,y Koordinatensystem dar. ( Im Intervall x€[0,1], y€[0,1] ). Lösungen die sich nicht in diesem Intervall darstellen lassen, sind zu vernachlässigen |
Folgende Gleichung ist zu bearbeiten:
[mm]
\wurzel[3]{x^3 + y^3} + \wurzel[3]{(1-x)^3 + (1-y)^3} = \wurzel[3]{2}
[/mm]
ich probiere nun schon seit Stunden diese recht einfach wirkende Gleichung umzustellen. Ohne jeglichen Erfolg. (Weder mit Substuition/Binomialsatz oder ähnl. )
Ich habe es schon fast aufgegeben
Vielleicht hat ja jemand nen guten Einfall
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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hallo deex,
an der Gleichung fallen zunächst die Symmetrien auf:
Wenn man x und y vertauscht, so ergibt sich wieder dieselbe Gleichung, ebenso wenn man x durch (1-x) und y durch (1-y) ersetzt.
Möglicherweise kann man damit etwas anfangen.
Mein Versuch, mit einem CAS-Rechner (Voyage 200) etwas Durchblick zu gewinnen, führte aber zu abschreckend komplizierten Termen...
Das Problem interessierte mich, weil ich gerade mit einem anderen Problem beschäftigt bin, das mit kubischen Gleichungen zu tun hat.
Gruss Al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:40 Mi 16.04.2008 | | Autor: | deex |
Ich möchte hier noch kurz den Hintergrund dieser Aufgabe erläutern, vielleicht findet ja so jemand eventuell einen anderen Lösungsansatz.
Und zwar hat mich die grafische Darstellung des 'Weges' in der Metrik p=3 interessiert, den man zurücklegen muss, um vom Punkt (0,0) zum Punkt (1,1) zu kommen.
Sozusagen d3((0;0),(1,1)) das im [mm] \IR^2 [/mm] darstellen.
Als Herangehensweise empfahl mir mein Professor folgenden Weg:
d3(0,x1) + d3(x1,1) = d3(0,1)
oder als Funktion ausgedrückt (ausführlich):
[mm] \wurzel[3]{ \left|(0-x)^3\right| + \left|(0-y)^3\right|} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{ \left|(x-1)^3\right| + \left|(y-1)^3\right|} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{ \left|(0-1)^3\right| + \left|(0+1)^3\right|}
[/mm]
da ich den Weg bloß im ersten Quadranten darstellen wollte empfahl mir ein wissenschaftlicher Mitarbeiter die Formel folgendermaßen zu vereinfachen:
[mm] \wurzel[3]{x^3 + y^3} [/mm] + [mm] \wurzel[3]{(1-x)^3 + (1-y)^3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{2} [/mm]
Diese Gleichung muss ich nun 'nur' noch nach y auflösen um sie im Koordinatensystem darstellen zu können
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Die Aufgabe war:
> Geben Sie die Gleichung in der Form y = f(x) an.
> Stellen Sie, wenn möglich, diese Gleichung in einem x,y
> Koordinatensystem dar (im Intervall x€[0,1],
> y€[0,1] ). Lösungen die sich nicht in diesem
> Intervall darstellen lassen, sind zu vernachlässigen
> Folgende Gleichung ist zu bearbeiten:
>
> [mm]\wurzel[3]{x^3 + y^3} + \wurzel[3]{(1-x)^3 + (1-y)^3} = \wurzel[3]{2} [/mm]
>
> ich probiere nun schon seit Stunden diese recht einfach
> wirkende Gleichung umzustellen. Ohne jeglichen Erfolg.
> (Weder mit Substuition/Binomialsatz oder ähnl.)
> Ich habe es schon fast aufgegeben.
>
> Vielleicht hat ja jemand nen guten Einfall.
Hallo deex !
Ich habe mir die Gleichung nochmals vorgeknöpft und festgestellt:
1.) Man kann doch ganz leicht algebraisch bestätigen, dass die Gleichung
im angegebenen Bereich jedenfalls erfüllt ist, falls y=x.
Dies war vermutlich das erhoffte Ergebnis : [mm]y=f(x)=x[/mm] !
2.) Erweitert man den Bereich und lässt damit auch Kubikwurzeln aus
negativen Zahlen zu (also [mm]\wurzel[3]{x} = sgn(x)*\wurzel[3]{|x|})[/mm],
dann besteht der Graph in der x-y-Ebene aus 3 Ästen:
1. Ast: die Gerade y=x
2. Ast: eine leicht geschwungene hyperbelartige Kurve, die z.B. durch die
Punkte (-1/0.841), (0/0) und (1/-1.260) geht.
3. Ast: eine ebensolche, zum 2.Ast symmetrisch liegende Kurve durch
(-1/4.232), (0/2.260), (1/1), (2.260/0)
Letzteres habe ich gefunden, indem ich die Gleichung für eine Serie gewählter
x-Werte mittels CAS-Rechner numerisch nach y auflösen liess.
Gruß al-Chwarizmi
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