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Auflösen von Betragsstrichen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Do 05.11.2009
Autor: denzil

Aufgabe
Man zeige für Zahlen a, b [mm] \in \IR [/mm] die Beziehung ("Youngsche Ungleichung")

[mm] \\2|ab| \le \varepsilon a^{2} [/mm] + [mm] \varepsilon^{-1}b^{2} [/mm]

mit beliebigem [mm] \varepsilon \in \IR_{+} [/mm]

Soweit so gut. Die Aufgabe stammt aus unserem Ana-Skript.
Als Lösung ist folgendes angegeben:

[mm] \varepsilon a^{2} \pm \\2ab [/mm] + [mm] \bruch{1}{\varepsilon}b^{2} [/mm] = ... = [mm] (\wurzel{\varepsilon}a \pm \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} b)^{2} \ge \\0 [/mm]

Der ausgelassene Zwischenschritt ist eine Erweiterung mit [mm] \wurzel{\varepsilon}. [/mm] Der eigentliche Punkt meiner Frage ist folgender: Ich hole ja die [mm] \\2|ab| [/mm] nach rechts, was passiert mit den Betragsstrichen?! Warum wird das zu einem [mm] "\pm" [/mm] ?

Denzil

        
Bezug
Auflösen von Betragsstrichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Do 05.11.2009
Autor: fencheltee


> Man zeige für Zahlen a, b [mm]\in \IR[/mm] die Beziehung
> ("Youngsche Ungleichung")
>  
> [mm]\\2|ab| \le \varepsilon a^{2}[/mm] + [mm]\varepsilon^{-1}b^{2}[/mm]
>  
> mit beliebigem [mm]\varepsilon \in \IR_{+}[/mm]
>  Soweit so gut. Die
> Aufgabe stammt aus unserem Ana-Skript.
>  Als Lösung ist folgendes angegeben:
>  
> [mm]\varepsilon a^{2} \pm \\2ab[/mm] + [mm]\bruch{1}{\varepsilon}b^{2}[/mm] =
> ... = [mm](\wurzel{\varepsilon}a \pm \bruch{1}{\wurzel{\varepsilon}} b)^{2} \ge \\0[/mm]
>  
> Der ausgelassene Zwischenschritt ist eine Erweiterung mit
> [mm]\wurzel{\varepsilon}.[/mm] Der eigentliche Punkt meiner Frage
> ist folgender: Ich hole ja die [mm]\\2|ab|[/mm] nach rechts, was
> passiert mit den Betragsstrichen?! Warum wird das zu einem
> [mm]"\pm"[/mm] ?

naja das kennst du evtl von wurzeln. bsp:
[mm] \sqrt{x^2}=|x| [/mm] bzw [mm] \pm [/mm] x
was eigentlich ja nur die kombination beider einzelfälle darstellt, um nicht beide fälle getrennt durchzurechnen.

|x| [mm] =\begin{cases} \ \;\,\ \ x &\mathrm{f\ddot ur}\ x \ge 0\\ \ \;\, - x &\mathrm{f\ddot ur}\ x < 0 \end{cases} [/mm]
oder auch kurz [mm] |x|=\pm [/mm] x

>  
> Denzil

gruß tee

Bezug
        
Bezug
Auflösen von Betragsstrichen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:22 Fr 06.11.2009
Autor: fred97

Das mit " [mm] \pm" [/mm] ist gar nicht nötig, wenn man [mm] $x^2 [/mm] = [mm] |x|^2$ [/mm] beachtet:


              

$ [mm] \\2|ab| \le \varepsilon a^{2} [/mm] $ + $ [mm] \varepsilon^{-1}b^{2} \gdw (\wurzel{\varepsilon}|a|- \bruch{|b|^2}{\wurzel{\varepsilon}})^2 \ge [/mm] 0 $


FRED


Bezug
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