Auflösen von S3 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Wie läßt sich [mm]S_3[/mm] (symmetrische Gruppe mit 3! Elementen) auflösen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
wie kann man außerdem schnell auf eine abelsche Normalreihe kommen?
[mm]S_4[/mm] läßt sich folgendermaßen auflösen:
[mm]G_0=\{e\}[/mm]
[mm]G_0=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/mm]
[mm]G_0=A_4[/mm]
[mm]G_4=S_4[/mm]
Wie kann man zeigen, dass das stimmt? Dazu müßte man zeigen, dass jeweils normal ineinander liegen und dass die Faktoren [mm]G_{i+1}/G_i[/mm] abelsch sind.
Vielen Dank schon mal für die Hilfe.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wie läßt sich [mm]S_3[/mm] (symmetrische Gruppe mit 3! Elementen)
> auflösen?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Moin,
>
> wie kann man außerdem schnell auf eine abelsche Normalreihe
> kommen?
Bei [mm] $S_3$? [/mm] Es ist [mm] $A_3$ [/mm] ein Normalteiler von Ordnung 3 und Index 2. Nun sind [mm] $A_3 \cong A_3/\{ id \}$ [/mm] und [mm] $S_3/A_3$ [/mm] von Primzahlordnung, womit sie zyklisch und insbesondere abelsch sind.
> [mm]S_4[/mm] läßt sich folgendermaßen auflösen:
>
> [mm]G_0=\{e\}[/mm]
> [mm]G_1=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}[/mm]
> [mm]G_2=A_4[/mm]
> [mm]G_3=S_4[/mm]
(Ich hab die Nummern mal angepasst)
>
> Wie kann man zeigen, dass das stimmt? Dazu müßte man
> zeigen, dass jeweils normal ineinander liegen und dass die
> Faktoren [mm]G_{i+1}/G_i[/mm] abelsch sind.
Also [mm] $G_3/G_2 [/mm] = [mm] S_n/A_n$ [/mm] hat immer Ordnung 2 und ist somit zyklisch und insb. abelsch. Und [mm] $A_n$ [/mm] ist immer normal in [mm] $S_n$.
[/mm]
[mm] $G_1/G_0 \cong G_1$ [/mm] hat Ordnung 3, ist also ebenfalls zyklisch und insb. abelsch. Und [mm] $G_0$ [/mm] ist immer normal in jeder Gruppe...
Es bleibt [mm] $G_2/G_1$. [/mm] Aber [mm] $|G_1| [/mm] = 3$ und [mm] $|G_2| [/mm] = 4 [mm] \cdot [/mm] 3 = 12$, womit [mm] $|G_2/G_1| [/mm] = 4$ nach Lagrange. Nun ist aber jede Gruppe von Ordnung 4 abelsch (da 4 das Quadrat einer Primzahl ist). Es verbleibt also die Frage, ob [mm] $G_1$ [/mm] normal in [mm] $G_2$ [/mm] ist. Mit den Sylow-Saetzen kommt man hier nicht weiter; die Anzahl der $2$-Sylow-Gruppen in [mm] $A_4$ [/mm] ist entweder 1 oder 3. (Sie muss 1 sein, damit [mm] $G_1$ [/mm] normal in [mm] $G_2$ [/mm] ist.)
Vermutlich musst du das explizit nachrechnen. Zumindest faellt mir grad nichts besseres ein... :-/
LG Felix
|
|
|
| |
|
Soweit war ich auch ungefähr, aber ist nicht
[mm][mm] |A_4/G_1|=12/4=3[/mm] [mm]
und damit sofort zyklisch, weil 3 prim und damit abelsch?
Das Problem stellt sich doch bei
[mm]|G_1/e|=4/1=4[/mm].
Gut, dann könnte man da den Satz anwenden, dass alle Gruppen der Form [mm]|G|=p^2[/mm], p prim, abelsch sind und man ist bis auf das Normalteilerproblem fertig (für welches ich auch noch nichts gefunden habe) fertig.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 So 27.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Soweit war ich auch ungefähr, aber ist nicht
> [mm]|A_4/G_1|=12/4=3[/mm]
> und damit sofort zyklisch, weil 3 prim und damit abelsch?
Wenn es eine Gruppe ist, ja. Aber dazu muss [mm] $G_1$ [/mm] normal in [mm] $A_4$ [/mm] sein.
Es reicht uebrigens nachzurechnen, dass fuer ein $g [mm] \in A_4 \setminus G_1$ [/mm] gilt $g [mm] G_1 [/mm] = [mm] G_1 [/mm] g$. Ueberleg dir mal warum (denk dran, dass die Nebenklassen jeweils eine Partition bilden, und [mm] $G_1$ [/mm] selber auch ein Teil ist).
> Das Problem stellt sich doch bei
> [mm]|G_1/e|=4/1=4[/mm].
> Gut, dann könnte man da den Satz anwenden, dass alle Gruppen der Form [mm]|G|=p^2[/mm], p prim, abelsch sind
Man kann es auch explizit nachrechnen. Oder halt den Satz anwenden.
> und man ist bis auf das Normalteilerproblem fertig (für welches ich auch noch nichts gefunden habe) fertig.
Meinst du mit Normalteilerproblem, dass [mm] $\{ e \}$ [/mm] in [mm] $G_1$ [/mm] normal ist? Das ist doch immer so.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Nein mit dem Normalteilerproblem meinte ich das, was Du als erstes besprochen hast. Das ist dann ja auch klar.
So, für heute reichts. Werde Morgen nochmal Gas geben und die Ringtheorie (die bisher eigentlich relativ klar ist) abschließen und ein paar Übungsaufgaben durchgehen und dann Hals und Beinbruch am Dienstag Morgen...:)
Vielen Dank für die Hilfe und vielleicht bis Morgen, wenn ich noch ein paar Probleme finde, die ich nicht verstehe.
|
|
|
|
