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| Aufgabe | | Lösen Sie (in [mm] \IR [/mm] ) nach x auf: [mm] \left| \bruch {1-x} {2-x} \right| \le [/mm] x. |
Wir haben jetzt schon hin und her überlegt und kommen einfach nicht weiter. Mit der Intergralfunktion klappts nicht..also zumindest nicht bei uns ;) brauchen einfach mal nen Tipp wie es funktionieren kann.. Lösungsansatz oder so würde ja schon mal reichen. Danke! ;)
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Hallo tinkabell,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Es gilt: [mm] $\left|\bruch{1-x}{2-x}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{|1-x|}{|2-x|} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ x$ [mm] $\gdw$ [/mm] $|1-x| \ [mm] \le [/mm] \ x*|2-x|$
Gemäß Definition der Betragsfunktion ist hier eine Fallunterscheidung erforderlich.
[mm] |z|:=\begin{cases} -z, & \mbox{für } z \ < \ 0 \mbox{ } \\ +z, & \mbox{für } z \ \ge \ 0 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
Damit ist zu untersuchen:
$1-x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|1-x| \ = \ +(1-x) \ = \ 1-x$
$1-x \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|1-x| \ = \ -(1-x) \ = \ x-1$
$2-x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \le [/mm] \ 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|2-x| \ = \ +(2-x) \ = \ 2-x$
$2-x \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $|2-x| \ = \ -(2-x) \ = \ x-2$
Das ergibt zusammengefasst folgende Fallunterscheidungen:
Fall 1: $x \ [mm] \le [/mm] \ 1$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $1-x \ [mm] \le [/mm] \ x*(2-x)$
Fall 2: $1 \ < \ x \ [mm] \le [/mm] \ 2$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x-1 \ [mm] \le [/mm] \ x*(2-x)$
Fall 3: $2 \ < \ x$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $x-1 \ [mm] \le [/mm] \ x*(x-2)$
Gruß vom
Roadrunner
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