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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:01 Fr 25.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | Stellen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3. Grades auf, deren Graph durch den Ursprung geht, im Punkt (2/?) einen Terrassenpunkt hat und in P (-2/?) die Steigung 6 besitzt. |
Hallo :)
Grundsätzlich, komm ich mit der aufgabe zurecht, aber....
... da es sich um eine Ganzrationale Funktion 3. Grades handelt und die allg. Form dieser
f(x) = [mm] ax^3 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + cx + d
lautet, muss ich ja (wenn ich das richtig verstanden habe) 4 Lösungsgleichungen bilden, um nach den 4 koeffizienten auflösen zu können.
Ich komme auch auf insgesamt 4 solcher Gleichungen, das ist weniger das Problem, das Problem ist:
In der Lösung ist eine der Gleichungen: f'(2) = 0
Ich habe anstatt f'(2) = 0, den Punkt [mm] x_{0}=-2 [/mm] gewählt und gesagt
f'(-2) = 0
Undzwar kam ich da drauf, in dem ich meinte: Ein Punkt P (x/y), der auf dem Graphen [mm] G_{f} [/mm] liegt besagt: [mm] f'(x_{0})= [/mm] 0
Ich habe mich in diesem Fall für den Punkt (-2/?) entschieden.
In der Lösung wird allerdings, wie oben beschrieben, der Punkt (2/?) gewählt, an dem der Terrassenpunkt auftaucht.
Nun eine grundsätzliche Frage zu diesem Problem:
Woher weiss ich, welcher der gegebenen Punkte genau der ist, für den ich eine Gleichung bilden muss?
Ich meine, ich hätte ja auch den Punkt P(0/0) nehmen können, da der Graph durch den Ursprung geht und P(0/0) somit ebenfalls auf dem Graphen liegt ....
Viele Grüße,
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Fr 25.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Stellen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3.
> Grades auf, deren Graph durch den Ursprung geht, im Punkt
> (2/?) einen Terrassenpunkt hat und in P (-2/?) die Steigung
> 6 besitzt.
> Hallo :)
>
> Grundsätzlich, komm ich mit der aufgabe zurecht, aber....
>
> ... da es sich um eine Ganzrationale Funktion 3. Grades
> handelt und die allg. Form dieser
>
> f(x) = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
>
> lautet, muss ich ja (wenn ich das richtig verstanden habe)
> 4 Lösungsgleichungen bilden, um nach den 4 koeffizienten
> auflösen zu können.
>
> Ich komme auch auf insgesamt 4 solcher Gleichungen, das ist
> weniger das Problem, das Problem ist:
>
> In der Lösung ist eine der Gleichungen: f'(2) = 0
>
> Ich habe anstatt f'(2) = 0, den Punkt [mm]x_{0}=-2[/mm] gewählt und
> gesagt
> f'(-2) = 0
Aber es ist im Text doch mit keiner Silbe der Anstieg der Funktion an de Stelle -2 erwähnt. Also kannst du doch nicht behaupten, dass der Anstieg dort Null ist. (Der Ausdruck "Terrassenpunkt" ist mir nicht geläufig. Damit ist sicher ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente gemeint?)
> Undzwar kam ich da drauf, in dem ich meinte: Ein Punkt P
> (x/y), der auf dem Graphen [mm]G_{f}[/mm] liegt besagt: [mm]f'(x_{0})=[/mm]
> 0
Dann hätte ja der Graph überall den Anstieg 0. Die Bedeutung der 1. Ableitung einer Funktion ist dir bekannt?
Gruß Abakus
>
> Ich habe mich in diesem Fall für den Punkt (-2/?)
> entschieden.
>
> In der Lösung wird allerdings, wie oben beschrieben, der
> Punkt (2/?) gewählt, an dem der Terrassenpunkt auftaucht.
>
> Nun eine grundsätzliche Frage zu diesem Problem:
> Woher weiss ich, welcher der gegebenen Punkte genau der
> ist, für den ich eine Gleichung bilden muss?
>
> Ich meine, ich hätte ja auch den Punkt P(0/0) nehmen
> können, da der Graph durch den Ursprung geht und P(0/0)
> somit ebenfalls auf dem Graphen liegt ....
>
> Viele Grüße,
> ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo ChopSuey,
> Stellen Sie die Gleichung einer ganzrationalen Funktion 3.
> Grades auf, deren Graph durch den Ursprung geht, im Punkt
> (2/?) einen Terrassenpunkt hat und in P (-2/?) die Steigung
> 6 besitzt.
> Hallo :)
>
> Grundsätzlich, komm ich mit der aufgabe zurecht, aber....
>
> ... da es sich um eine Ganzrationale Funktion 3. Grades
> handelt und die allg. Form dieser
>
> f(x) = [mm]ax^3[/mm] + [mm]bx^2[/mm] + cx + d
>
> lautet, muss ich ja (wenn ich das richtig verstanden habe)
> 4 Lösungsgleichungen bilden, um nach den 4 koeffizienten
> auflösen zu können.
>
> Ich komme auch auf insgesamt 4 solcher Gleichungen, das ist
> weniger das Problem, das Problem ist:
>
> In der Lösung ist eine der Gleichungen: f'(2) = 0
>
> Ich habe anstatt f'(2) = 0, den Punkt [mm]x_{0}=-2[/mm] gewählt und
> gesagt
> f'(-2) = 0
> Undzwar kam ich da drauf, in dem ich meinte: Ein Punkt P
> (x/y), der auf dem Graphen [mm]G_{f}[/mm] liegt besagt: [mm]f'(x_{0})=[/mm]
> 0
>
> Ich habe mich in diesem Fall für den Punkt (-2/?)
> entschieden.
Im Text steht aber: ...in P (-2/?) die Steigung 6 besitzt.
Also ist $ f'(-2) = 6 $
>
> In der Lösung wird allerdings, wie oben beschrieben, der
> Punkt (2/?) gewählt, an dem der Terrassenpunkt auftaucht.
Wie Abakus schon sagte, ist ein Terassenpunkt eine Wendepunkt mit horizontaler Tangente, also ist:
$ f'(2)= 0 $ wegen der horizontalen Tangente und
$ f''(2) = 0 $ wegen des Wendepunktes.
Gruß
Sigrid
>
> Nun eine grundsätzliche Frage zu diesem Problem:
> Woher weiss ich, welcher der gegebenen Punkte genau der
> ist, für den ich eine Gleichung bilden muss?
>
> Ich meine, ich hätte ja auch den Punkt P(0/0) nehmen
> können, da der Graph durch den Ursprung geht und P(0/0)
> somit ebenfalls auf dem Graphen liegt ....
>
> Viele Grüße,
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Fr 25.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi ihr beiden, danke soweit
Dann hab ich, wenn ich richtig liege, die gleichungen:
Tangente geht durch den Ursprung
f(x) = 0
Horizontale Tangente am Terrassenpunkt in (2/?)
f'(2) = 0
Wendepunkt
f''(x)=0
Steigung 6 in Punkt (-2/?)
f'(-2) = 6
Seh ich das richtig?
Das würde bedeuten, dass ich, sobald ein Wendepunkt vorliegt, immer 2 Gleichungen bekomme, oder? Eine für den Wendepunkt und die andere für die horizontale Tangente, die drauf liegt. Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege.
@Abakus
die Nullstellen von f'(x) geben mir jeweils die Punkte, an denen die funktion f(x) Wendepunkte besitzt. Oder seh ich das Falsch? Wenn ja, würde ich mich über aufklärung freuen.
Gruß
ChopSuey
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Hallo,
> Hi ihr beiden, danke soweit
> Dann hab ich, wenn ich richtig liege, die gleichungen:
>
> Tangente geht durch den Ursprung
> f(x) = 0
> Horizontale Tangente am Terrassenpunkt in (2/?)
> f'(2) = 0
> Wendepunkt
> f''(x)=0
> Steigung 6 in Punkt (-2/?)
> f'(-2) = 6
korrekterweise wären das deine Bedingungen:
I f(0)=0
II f'(2)=0 wg. horizontaler Tangente, also Extrempunkt
III f''(2)=0 wg. Krümmungswechsel, also Wendepunkt
IV f'(-2)=6
> Seh ich das richtig?
> Das würde bedeuten, dass ich, sobald ein Wendepunkt
> vorliegt, immer 2 Gleichungen bekomme, oder? Eine für den
> Wendepunkt und die andere für die horizontale Tangente, die
> drauf liegt. Korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege.
Das was du als Terrassenpunkt bezeichnet ist einfach gesagt nichts anderes als Wende- und Extrempunkt an einer Stelle. Wird oft auch als Sattelpunkt bezeichnet.
Du hast also keine zwei Bedingungen wenn dir nur die Angabe gemacht wird dass an x=2 eine Wendestelle ist.
> @Abakus
>
> die Nullstellen von f'(x) geben mir jeweils die Punkte, an
> denen die funktion f(x) Wendepunkte besitzt. Oder seh ich
> das Falsch? Wenn ja, würde ich mich über aufklärung
> freuen.
Die Nullstellen der ersten Ableitung geben Extrempunkte, keine Wendepunkte an.
> Gruß
> ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Sa 26.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
Hi, danke für die hilfreichen Hinweise
ich hab die ganze Zeit von Wendepunkten gesprochen, obwohl ich Extrempunkte meinte, mein Fehler natürlich, sorry.
Aber: ein Extrempunkt, gibt 2 Gleichungen, oder? Eine für den Extrempunkt selbst, und die andere, da ich genau an diesem Punkt die Steigung der Tangente kenne, die m=0 ist.
also:
Extrema: [mm] f'(x_{0})=0
[/mm]
Tangente: [mm] f(x_{0})=m, [/mm] m=0
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 27.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo ChopSuey!
Wenn Du nur den x-Wert der Extremstelle gegeben hast, kennst Du lediglich eine Bedingung mit $f'(x) \ = \ 0$ .
> Extrema: [mm]f'(x_{0})=0[/mm]
> Tangente: [mm]f(x_{0})=m,[/mm] m=0
Das muss bei der 2. Gleichung [mm] $f\red{'}(x_0)$ [/mm] heißen - damit ist diese Gleichung identisch zur ersten.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:02 Fr 25.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Im Grunde genommen gibt es nur einige Bedingungen, aus denen du die Funktion "bauen" kannst.
-Punkt [mm] P(x_{p}/y_{p}) [/mm] gegeben.
[mm] \Rightarrow f(x_{p})=y_{p}
[/mm]
- Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] gegeben
[mm] \Rightarrow f(x_{0})=0
[/mm]
- Extremstelle [mm] x_{e} [/mm] gegeben
[mm] \Rightarrow f'(x_{e})=0
[/mm]
- Wendestelle [mm] x_{w} [/mm] gegeben
[mm] \Rightarrow f'(x_{w})=0
[/mm]
- Steigung m des Funktion (oder Tangente) an der Stelle [mm] x_{m} [/mm] gegeben
[mm] \Rightarrow f'(x_{m})=m
[/mm]
- Sattelstelle (Terassenstelle) [mm] x_{s} [/mm] gegeben.
[mm] \Rightarrow f'(x_{s})=0 [/mm] und [mm] f''(x_{s})=0
[/mm]
Natürlich können die Dinge auch kombiniert auftauchen.
Bsp:
Der Wendepunkt W(3/4) hat eine Tangente mit der Steigung 2
Dann gilt: f(3)=4 (Punktbedingung), f''(3)=0 (Wendestellenbed.) und f'(3)=2 (Tangentensteigung)
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:32 Sa 26.07.2008 | | Autor: | ChopSuey |
> Hallo
>
> Im Grunde genommen gibt es nur einige Bedingungen, aus
> denen du die Funktion "bauen" kannst.
>
> -Punkt [mm]P(x_{p}/y_{p})[/mm] gegeben.
> [mm]\Rightarrow f(x_{p})=y_{p}[/mm]
> - Nullstelle [mm]x_{0}[/mm] gegeben
> [mm]\Rightarrow f(x_{0})=0[/mm]
> - Extremstelle [mm]x_{e}[/mm] gegeben
> [mm]\Rightarrow f'(x_{e})=0[/mm]
> - Wendestelle [mm]x_{w}[/mm] gegeben
> [mm]\Rightarrow f'(x_{w})=0[/mm]
> - Steigung m des Funktion (oder
> Tangente) an der Stelle [mm]x_{m}[/mm] gegeben
> [mm]\Rightarrow f'(x_{m})=m[/mm]
> - Sattelstelle (Terassenstelle)
> [mm]x_{s}[/mm] gegeben.
> [mm]\Rightarrow f'(x_{s})=0[/mm] und [mm]f''(x_{s})=0[/mm]
>
> Natürlich können die Dinge auch kombiniert auftauchen.
>
> Bsp:
>
> Der Wendepunkt W(3/4) hat eine Tangente mit der Steigung 2
> Dann gilt: f(3)=4 (Punktbedingung), f''(3)=0
> (Wendestellenbed.) und f'(3)=2 (Tangentensteigung)
>
>
Hi Marius,
vielen Dank, für die ausführliche Antwort inklusive Beispiel und erklärung:)
Hast mir sehr geholfen.
Gruß
ChopSuey
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