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| Aufgabe | Hallo ich knabbere an folgender Aufgabe:
Sei [mm] $f(z)=\frac{i(z-1)}{(z+1)}$ [/mm] und w=h(z) diejenige Möbius-Trafo für die [mm] $h(o)=i,h(i)=\infty, h(\infty)=i$ [/mm] gilt.
a)bestimmen Sie h(z)
b)Bestimmen Sie die Fixpunkte und die Darstellung von h°f
c)welche Geraden werden durch f wieder auf Geraden abgebildet? |
Ich habe folgende Formel benutzt:
[mm] \frac{z-z_{1}}{z-z_{3}}\frac{z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}=\frac{w-w_{1}}{w-w_{3}}\frac{w_{2}-w_{3}}{w_{2}-w_{1}}
[/mm]
Beim Ergebniss kommt jedoch ein recht großer Bruch mit vielen z und [mm] \infty [/mm] heraus, was wohl nicht stimmen kann. Deshalb denke ich dass es mit dem [mm] \infty [/mm] irgendwo einen Kniff geben muss
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich würde mir den Term für [mm]h(z)[/mm] schrittweise erstellen. Am besten fängt man mit [mm]h(\operatorname{i}) = \infty[/mm] an. Das erreicht man, indem man [mm]\operatorname{i}[/mm] zu einer Nullstelle des Nenners macht, also etwa so:
[mm]h(z) = \frac{\text{???}}{z - \operatorname{i}}[/mm]
Der Nenner wird von jetzt ab nicht mehr verändert. Als nächstes kümmern wir uns um [mm]h(\infty) = \operatorname{i}[/mm]. Fangen wir einfach einmal an:
[mm]h(z) = \frac{z + \text{???}}{z - \operatorname{i}}[/mm]
Den Wert an der Stelle [mm]\infty[/mm] erhält man ja als Quotienten der Koeffizienten der [mm]z[/mm] in Zähler und Nenner. Hier wäre das also [mm]h(\infty) = \frac{1}{1} = 1[/mm]. Das ist nicht das Gewünschte. Aber mit einer kleinen Änderung bekommt man das hin. Versuche es einfach einmal selber. Dann hast du nur noch den konstanten Summanden im Zähler so zu bestimmen, daß auch noch die Beziehung [mm]h(0) = \operatorname{i}[/mm] gilt. Mache einen Ansatz mit einem Parameter und bestimme den Parameter aus dieser Beziehung.
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Aber wenn ich i zur Nullstelle des Nenners mache, dann habe ich keine Lösung und nicht die Lösung unendlich oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:25 Di 08.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Entweder hat sich der Aufgabensteller vertan oder Du.
es wird gefordert: $ [mm] h(o)=i,h(i)=\infty, h(\infty)=i [/mm] $
Es kann aber nicht sein, dass [mm] h(\infty)=i [/mm] =h(0) ist, denn h ist injektiv.
FRED
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Richtig. Das war mir gar nicht aufgefallen.
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Natürlich, du hast recht, da habe ich mich vertippt. Richtig heißt es:
[mm] h(\intfy)=1,h(i)=\infty [/mm] und h(0)=i
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