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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 So 20.03.2005 | | Autor: | TommyD |
Hallo!
Ich betrachte die parametrisierte Funktion
f(x) = a * [mm] x^{2} [/mm] + b * x +c
Daraus möchte ich eine Zielfunktion erstellen, von der ich mehrere Sachen weiß:
a) Sie geht durch (0;0), c ist deshalb 0 und muss nicht weiter betrachtet werden
b) a ist negativ, die Parabel ist also nach unten offen
c) Ich habe einen beliebigen bekannten Punkt im I. bzw. II Quadranten, dieser Punkt liegt bei (u,v)
Mein Problem ist nun, dass ich noch zwei Unbekannte in meiner Gleichung habe (a und b), doch nur noch einen Punkt (u,v), obwohl ich zwei benötigen würde.
Hintergrund: Ich baue in Flash eine Wasserfontäne, die ausgehend von (0;0) an einen beliebigen Ort (u,v), z.B. die aktuelle (bekannte) Mausposition, spritzen soll. Jeder Partikel dieser Wasserfontäne folgt einer Parabelbahn, die ich im Moment der Erzeugung des Partikels über den Ursprungspunkt und den Zielpunkt definieren will. ![[]](/images/popup.gif) Die Animation sieht man hier.
Es klappt, wenn mein Zielpunkt auf der x-Achse (y=0) liegt, darüber bzw. darunter ergeben sich Abweichungen. Leider weiß ich nicht den x-Wert des Maximums, so dass ich auf diese Art und Weise über die erste Ableitung an eine weitere Gleichung käme, sodass ich mir den dritten Punkt komplett selbst definieren muss (bisher (u/2;v+100)).
Wäre nett, wenn mir jemand einen Anhaltspunkt geben könnte, ich brüte irgendwie schon seit Tagen über dieses dämliche Problem...
Danke im Voraus,
Thomas.
Obligatorisch:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 20.03.2005 | | Autor: | Andi |
Hallo Tommy,
> Es klappt, wenn mein Zielpunkt auf der x-Achse (y=0) liegt,
> darüber bzw. darunter ergeben sich Abweichungen. Leider
> weiß ich nicht den x-Wert des Maximums, so dass ich auf
> diese Art und Weise über die erste Ableitung an eine
> weitere Gleichung käme, sodass ich mir den dritten Punkt
> komplett selbst definieren muss (bisher (u/2;v+100)).
Warum definierst du dir nicht den Punkt (u/v) als Scheitelpunkt?
Dann hättest du zusammen mit der Information, dass die Prabel durch (0/0) geht, doch alles was du brauchst.
> Wäre nett, wenn mir jemand einen Anhaltspunkt geben könnte,
> ich brüte irgendwie schon seit Tagen über dieses dämliche
> Problem...
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Mo 21.03.2005 | | Autor: | TommyD |
Hallo Andi!
> Warum definierst du dir nicht den Punkt (u/v) als
> Scheitelpunkt?
> Dann hättest du zusammen mit der Information, dass die
> Parabel durch (0/0) geht, doch alles was du brauchst.
Hrm... stimmt, dann hätte ich die Parabel eindeutig identifiziert (weil (u,v) für die Funktion und (u,0) die erste Ableitung bekannt ist), aber damit habe ich am Ende einen Strahl, der am Scheitelpunkt der Kurve aufhört (vgl. den Link in meinem ursprünglichen Posting), und das ist ja nicht erwünscht.
Ich weiß, dass ich mit nur zwei bekannten Punkten beliebig viele Parabeln aufstellen kann (abhängig von einem parametrisierten dritten Punkt), nur irgendwie scheine ich dafür noch nicht die richtige Formel dafür gefunden zu haben. Erschwerend kommt hinzu, dass ich das ganze auf ein Raster mappen muss, wo die Vorzeichen der y-Achse vertauscht sind. So habe ich zwar irgendwie eine Formel (und eine Kurve) am Ende, aber die trifft dann nicht die gegebenen Maus(Ziel)Koordinaten.
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Hallo TommyD
Grundsätzlich musst du dich erstmal entscheiden, wo der Scheitel der Parabel der Funktion ist, oder einen dritten Punkt festlegen. Angesichts deines Programmes scheint mir am sinnvollsten, den Scheitel bei u/2 anzunehmen. Allerdings reicht das immernoch nicht, die Parabel eindeutig festzulegen. Denn das würde zu folgender Funktionsgleichung führen:
[mm] $f(x)=a(x-u/2)^2+e$
[/mm]
mit P(u|v) ergibt sich:
[mm] $v=a(u/2)^2+e \gdw e=v-\frac{a}{4}u^2$
[/mm]
also [mm] $f(x)=a[(x-0,5u)^2+v-0,25u^2]$
[/mm]
Die Frage beschränkt sich also auf die Krümmung der Kurve und damit auf dein Problem bezogen auf den Wasserdruck.
Du kannst jetzt entweder |a| konstant lassen mit sgn(a)=sgn(u) , womit der Winkel in dem Strahl den Ursprung verlässt ebenfals konstant bleibt oder du könntest a umgekehrt proportional zu |u| wachsen lassen (Winkel verändert sich), oder...
Musst mal selber schauen, was am besten wirkt.
Ich hoffe ich konnte in irgendeiner Weise helfen
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 21.03.2005 | | Autor: | TommyD |
> Grundsätzlich musst du dich erstmal entscheiden, wo der
> Scheitel der Parabel der Funktion ist, oder einen dritten
> Punkt festlegen. Angesichts deines Programmes scheint mir
> am sinnvollsten, den Scheitel bei u/2 anzunehmen.
Das dachte ich auch erst, ist aber so nicht ganz richtig. Der Scheitelpunkt liegt genau dann bei [mm]u/2[/mm], wenn [mm]v = 0[/mm] ist, ansonsten nicht.
Darum ergab sich bei meiner Berechnung dann auch immer eine Abweichung.
Danke Dir trotzdem!
Thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Tommy,
hast Du meine Mitteilung nicht gelesen?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Di 22.03.2005 | | Autor: | TommyD |
..habe ich was verpasst? Bin neu hier und dieses komische Forum-System irritiert mich noch ein wenig.
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Hi, Tommy,
Dein Problem ist so wie Du es bisher beschreibst, nicht eindeutig lösbar, weil es unendlich viele "Wege" von (0;0) nach (u;v) gibt. Du brauchst daher eine 3. Bedingung. Da der Punkt (u;v) nicht unbedingt auf gleicher Höhe liegt wie der Ursprung, ist es sicher nicht gut, über den Parabelscheitel vorzugehen.
Vorschlag: Gib doch die Steigung im Ursprung vor, z.B. f'(0)=1
f(x) = [mm] ax^{2} [/mm] + bx . Mit (u;v): v [mm] =au^{2} [/mm] + bu
f'(x) = 2ax + b. f'(0) = 1 <=> b = 1
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, erhältst Du dann [mm] a=\bruch{v-u}{u^{2}}
[/mm]
Natürlich ist die Lösung für Dich nur brauchbar, wenn u>v ist, da a ja negativ sein soll!
Wenn Dir die Lösung aus diesem Grund nicht gefällt, probier's mit einer anderen Steigung, eventuell einer, die von u abhängt!
Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:13 Di 22.03.2005 | | Autor: | TommyD |
So... hab mich Deinem Rat angenommen und mit einigen Modifikationen klappt das jetzt sogar richtig gut!
http://www.thomaskeller.biz/water_particles.swf
Vielen Dank nochmal, der Weg über den Anstieg war in der Tat der
Richtige. In der Animation oben verwende ich 2.5.
Tommy.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Tommy,
hab's mir jetzt erst angeschaut: Super Animation!!!
Kann's leider bei mir nicht speichern! (Grantel, grantel!)
Gibt's keine Möglichkeit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 Mi 23.03.2005 | | Autor: | TommyD |
Hi!
Die Flash-Animation kannst Du, wenn sie geöffnet ist, z.B. im Firefox einfach unter "Datei -> Seite speichern unter" abspeichern.
Wenn allgemeines Interesse besteht, kann ich die *.fla auch mit zum Download anbieten, ich hab daraus eine Flash-Komponente gebaut, die sehr einfach von aussen zu bedienen ist.
Grüße,
Tommy.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Mi 23.03.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Tommy,
da bin ich mir aber ganz sicher, dass dafür im Mathe-Forum Interesse besteht!
> Die Flash-Animation kannst Du, wenn sie geöffnet ist, z.B.
> im Firefox einfach unter "Datei -> Seite speichern unter"
> abspeichern.
Hm, leider: Bin kein Computer-Experte! Was ist denn "Firefox"?
>
> Wenn allgemeines Interesse besteht, kann ich die *.fla auch
> mit zum Download anbieten, ich hab daraus eine
> Flash-Komponente gebaut, die sehr einfach von aussen zu
> bedienen ist.
>
Ja! Das wär' nicht schlecht! Mal im Mathe-Forum nachfragen, ob man sowas nicht für alle Nutzer zugänglich machen könnte!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 Mi 23.03.2005 | | Autor: | TommyD |
Hallöchen!
> da bin ich mir aber ganz sicher, dass dafür im Mathe-Forum
> Interesse besteht!
http://thomaskeller.biz/work/flash/water_particles.fla
http://thomaskeller.biz/work/flash/water_particles.swf
> Hm, leider: Bin kein Computer-Experte! Was ist denn
> "Firefox"?
http://www.getfirefox.de
http://www.spreadfirefox.com
So... genug Links =)
Grüße,
Tommy.
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