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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:50 So 08.10.2006 | | Autor: | mary7 |
| Aufgabe | | Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei x = 1, die Gerade mit der Gleichung y = 4 ist die waagerechte Asymptote und der Punkt P (2|6) liegt auf der Kurve. Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich komme bei der oben genannten Aufgabe nicht weiter. Das heißt, ich weiß gar nicht richtig, wo ich anfangen soll. Mit ganzrationalen Funktionen habe ich kein Problem, ich schaue dann, wieviele Sachen ich vorgegeben habe und bestimme daraus den Funktionsgrad (das geht hier ja auch, ich denk mal es ist eine Funktion 3. Grades).
Nur weiß ich jetzt nicht, wie ich die Sache mit der Polstelle und der Asymptote "übersetzen" soll. Das mit dem Punkt ist mir klar, daraus schließt man, dass f (2) = 6.
Kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich das mit der Polstelle machen soll und was ich vor allem mit der Asymptote anstellen soll??
Dankeschön fürs Lesen und vielen Dank im Voraus
eure Marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 So 08.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marie!
Eine Polstelle an der Stelle [mm] $x_P$ [/mm] mit Vorzeichenwechsel bei einer gebrochen-rationalen Funktion, bedeutet eine Nullstelle des Nenners bei [mm] $x_P$ [/mm] .
Dabei muss dieser Term [mm] $(x-x_P)$ [/mm] , hier: $(x-1)_$ , in einer ungeraden Potenz auftreten. Die kleinste Variante wäre also die [mm] $(x-1)^{\red{1}}$ [/mm] .
Eine waagerechte Asymptote bedeutet, dass das Zählerpolynom densalben Grad hat wie der Nenner. Damit es aber nun bei $y \ = \ [mm] \red{4}$ [/mm] eine Asymptote wird, muss da noch der Faktor [mm] $\red{4}$ [/mm] hin:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{\red{4}*x+a}{x-1}$
[/mm]
Kannst Du nun durch Einsetzen der gegebenen Punktkoordinaten den Wert $a_$ ermitteln?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 08.10.2006 | | Autor: | mary7 |
Hallo Loddar und danke für deine Antwort!
Ich hab jetzt also in den Term für f(x) = y = 6 und für x = 2 eingesetzt.
Dann kommt bei mir folgendes raus:
6 = 8 + a also ist a = -2.
Oder?
Ist dann die Funktionsgleichung
$ f(x) \ = \ [mm] \bruch [/mm] { 4x + 2 } { x - 1} $ ?
Denn wenn ich diese Funktion von meinem Taschenrechner zeichnen lasse, dann ist bei mir der Punkt P nicht auf der Funktion!
Oder habe ich was vergessen?
Kannst du mir bitte nochmal weiterhelfen? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 08.10.2006 | | Autor: | zetamy |
Hallo mary7,
Den Wert für "a" hast du richtig ausgerechnet. Dein Fehler liegt beim Einsetzen in die Funktionsgleichung.
Loddar hatte geschrieben [mm]f(x)=\bruch{4*x+a}{x-1}[/mm] mit a=-2 lautet die Gleichung dann:
[mm]f(x)=\bruch{4x-2}{x-1}[/mm].
Mit dieser Gleichung sind alle deine Voraussetzungen erfüllt.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Sa 14.10.2006 | | Autor: | lauravr |
Hallo,
wie würde das ganze denn aussehen, wenn bei x=1 keine Vorzeichenwechsel wäre? Dann müsste hinter (x-1) doch sicher ein gerader Exponent, z.B. (x-1)² , oder? Aber wie müsste man das ganze Umformen, so dass auch im Zähler die höchste Potenz x² wäre und die Funktion trotzdem noch gegebene Eigenschaften erfüllt?
Lg Laura
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Hallo Laura,
>
> wie würde das ganze denn aussehen, wenn bei x=1 keine
> Vorzeichenwechsel wäre? Dann müsste hinter (x-1) doch
> sicher ein gerader Exponent, z.B. (x-1)² , oder? Aber wie
> müsste man das ganze Umformen, so dass auch im Zähler die
> höchste Potenz x² wäre und die Funktion trotzdem noch
> gegebene Eigenschaften erfüllt?
>
Aufgabe also:
Das Schaubild einer gebrochenrationalen Funktion hat eine Polstelle mit ohne Vorzeichenwechsel bei x = 1, die Gerade mit der Gleichung y = 4 ist die waagerechte Asymptote und der Punkt P (2|6) liegt auf der Kurve. Bestimmen Sie eine mögliche Funktionsgleichung.
Versuchs mal mit [mm] $f(x)=\bruch{4x^2+a}{(x-1)^2}$ [/mm] und bestimme a so, dass der Punkt auf dem Graphen liegt.
Nur so ein Gedanke, den ich nicht ausprobiert habe!
Gruß informix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:46 Sa 14.10.2006 | | Autor: | lauravr |
Habe das mal ausprobiert und mit Geogebra überprüft...
a müsste nach meiner Rechnung [mm] \bruch{3}{8} [/mm] sein jedoch geht der Graph f(x) = [mm] \bruch{4x² + \bruch{3}{8}}{(x-1)²} [/mm] nicht durch den Punkt (2/6).
Wo könnte der Fehler liegen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 14.10.2006 | | Autor: | informix |
> Habe das mal ausprobiert und mit Geogebra überprüft...
> a müsste nach meiner Rechnung [mm]\bruch{3}{8}[/mm] sein jedoch
> geht der Graph f(x) = [mm]\bruch{4x² + \bruch{3}{8}}{(x-1)²}[/mm]
> nicht durch den Punkt (2/6).
>
> Wo könnte der Fehler liegen?
Wenn du mir die Rechnung zeigst, suche ich auch deinen Fehler ... 
Gruß informix
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