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| Aufgabe | Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel; z.B. besteht 18/10-Stahl aus 72% Eisen, 18% Chrom und 10%Nickel. Aus den Legierungen A, B, C soll unter Zugabe von möglichst wenig Nickel (D) eine Tonne 18/10- Stahl hergestellt werden. Lösen Sie das Problem mit einem LGS.
A: 70% Eisen, 22% Chrom, 8% Nickel
B: 74% Eisen, 18% Chrom, 8% Nickel
C: 78% Eisen, 15% Chrom, 7% Nickel
D: 0% Eisen, 0% Chrom, 100% Nickel. |
Guten Tag!
Die Aufgabe oben ist eine Bsp.aufgabe, also habe ich das LGS, das zur Lösung führt vor mir. Es sieht so aus:
70x1 + 74x2 +78x3 = 72
usw..
Die ersten Gleichungen sind mir klar, was ich nicht verstehe, ist weshalb die folgende Gleichung nötig ist:
x1 + x2 + x3 + x4 = 1
Ich habe selbst eine weitere Aufgabe gerechnet, die sehr ähnlich ist, allerdings nur 3 Variablen hatte ( ich bin mir bewusst, dass diese Information nicht sehr nützlich ist..), bei der man aber auf die Gleichung
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 verzichten musste, weil sonst das Ergebnis falsch geworden wäre.
Meine konkrete Frage ist: wann braucht man Gleichungen
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 dieser Form und wann nicht? Ich hatte mir gedacht es hätte etwas mit der Anzahl der Variablen zu tun und der daraus folgenden Anzahl der benötigten Bedingungen, allerdings hat auch das nicht bei allen Aufgaben, die ich gerechnet habe zugetroffen.
Vielen Dank und liebe Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Edelstahl ist eine Legierung aus Eisen, Chrom und Nickel;
> z.B. besteht 18/10-Stahl aus 72% Eisen, 18% Chrom und
> 10%Nickel. Aus den Legierungen A, B, C soll unter Zugabe
> von möglichst wenig Nickel (D) eine Tonne 18/10- Stahl
> hergestellt werden. Lösen Sie das Problem mit einem LGS.
>
> A: 70% Eisen, 22% Chrom, 8% Nickel
> B: 74% Eisen, 18% Chrom, 8% Nickel
> C: 78% Eisen, 15% Chrom, 7% Nickel
> D: 0% Eisen, 0% Chrom, 100% Nickel.
> Guten Tag!
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> Die Aufgabe oben ist eine Bsp.aufgabe, also habe ich das
> LGS, das zur Lösung führt vor mir. Es sieht so aus:
>
> 70x1 + 74x2 +78x3 = 72
> usw..
>
> Die ersten Gleichungen sind mir klar, was ich nicht
> verstehe, ist weshalb die folgende Gleichung nötig ist:
> x1 + x2 + x3 + x4 = 1
>
Hallo,
Ich gehe mal dvon aus, dass [mm] x_1, x_2 [/mm] usw. die Massen der eingesetzten Stoffe A, B, usw. sein sollen.
Wenn du diese 4 Massen zusammenkippst erhältst du eine Tonne.
Deshalb: [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 1
(Du könntst natürlich auch x1 + x2 + x3 + x4 = 1000 schreiben, wenn du kg verwendest.)
Aber bleiben wir bei
[mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] + [mm] x_4 [/mm] = 1 .
Der Eisenanteil soll 72% betragen, deshalb sind es insgesamt 0,72 Tonnen Eisen.
Sie kommen zusammen mit 70% der Masse x1, 74% der Masse x2 usw., also
[mm] 0,70x_1+0,74x_2+0,78x_3=0,72 [/mm] (du hast das Gleiche, nur mit 100 multipliziert).
Die erste Gleichung sagt also einfach aus, wie viel Masse ingesamt zusammengekippt wird, und die nächsten Gleichungen treffen diese Aussagen nur für den Eisenanteil bzw. die anderen Elemente.
Viele Grüße
Abakus
> Ich habe selbst eine weitere Aufgabe gerechnet, die sehr
> ähnlich ist, allerdings nur 3 Variablen hatte ( ich bin
> mir bewusst, dass diese Information nicht sehr nützlich
> ist..), bei der man aber auf die Gleichung
> x1 + x2 + x3 + x4 = 1 verzichten musste, weil sonst das
> Ergebnis falsch geworden wäre.
>
> Meine konkrete Frage ist: wann braucht man Gleichungen
> x1 + x2 + x3 + x4 = 1 dieser Form und wann nicht? Ich hatte
> mir gedacht es hätte etwas mit der Anzahl der Variablen zu
> tun und der daraus folgenden Anzahl der benötigten
> Bedingungen, allerdings hat auch das nicht bei allen
> Aufgaben, die ich gerechnet habe zugetroffen.
>
> Vielen Dank und liebe Grüße!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Aufgabe | Für Düngeversuche sollen aus den drei Düngesorten 1, 2 und 3 10kg Blumendünger gemischt werden, der 40% Kalium, 35% Stickstoff und 25% Phosphor enthält. Welche Mengen werden benötigt?
1: 40%Kalium, 50%Stickstoff, 10%Phosphor
2: 30%Kalium, 20%Stickstoff, 50%Phosphor
3: 50%Kalium, 30%Stickstoff, 20%Phosphor
3: Kalium |
Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
Ich habe oben jetzt eine Aufgabe eingetippt, bei der man die Gleichung x1 + x2 + x3 + x4 = 1 nicht benötigt, bzw bei der man mit dieser Gleichung sogar das falsche Ergebnis erhält. Meine Frage ist nun: warum wird die Gleicung einmal benötigt und einmal nicht?
Gruß!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Mi 12.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Für Düngeversuche sollen aus den drei Düngesorten 1, 2 und
> 3 10kg Blumendünger gemischt werden, der 40% Kalium, 35%
> Stickstoff und 25% Phosphor enthält. Welche Mengen werden
> benötigt?
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> 1: 40%Kalium, 50%Stickstoff, 10%Phosphor
> 2: 30%Kalium, 20%Stickstoff, 50%Phosphor
> 3: 50%Kalium, 30%Stickstoff, 20%Phosphor
> 3: Kalium
> Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Ich habe oben jetzt eine Aufgabe eingetippt, bei der man
> die Gleichung x1 + x2 + x3 + x4 = 1 nicht benötigt, bzw bei
> der man mit dieser Gleichung sogar das falsche Ergebnis
> erhält. Meine Frage ist nun: warum wird die Gleicung einmal
> benötigt und einmal nicht?
>
> Gruß!
Hallo,
in dieser Aufgabe ist keine Aussage über irgendeine Gesamtmenge vorhanden, also kann man eine solche Gleichung nicht aufstellen.
Du hast drei Gleichungen und drei Unbekannte. Das reicht zum Lösen aus.
Vorhin hattest du vier Unbekannte, und die Aussage über die Gesamtmenge war dort eben eine der vier benötigten Gleichungen.
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Hallo,
aber in der Aufgabe wird doch von 10kg Blumendünger gesprochen, das ist doch eine absolute Gesamtmenge, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 13.03.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> aber in der Aufgabe wird doch von 10kg Blumendünger
> gesprochen, das ist doch eine absolute Gesamtmenge, oder
> nicht?
Upps, habe ich übersehen. Ohne die Angabe (10 kg) bekommst du nur das Mischungsverhältnis der Zutaten, mit dieser Angabe eben die konkreten Massen für 10 kg.
Abakus
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Hallo,
Das LGS für die Düngeraufgabe müsste doch dann so aussehen:
0,4x1 + 0,3x2 + 0,5x3 = 0,4
0,5x1 + 0,2x2 + 0,3x3= 0,35
0,1x1 + 0,5x2 + 0,2x3= 0,25
x1 + x2 + x3 =10
Aber das Ergebnis stimmt leider nicht. Wenn ich die letzte Gleichung weglasse, stimmt es wieder, aber ich verstehe nicht, warum hierbei ein falsches Ergebnis rauskommt.
Vielen Dank,
Grüße!
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> Hallo,
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> Das LGS für die Düngeraufgabe müsste doch dann so
> aussehen:
>
> 0,4x1 + 0,3x2 + 0,5x3 = 0,4
> 0,5x1 + 0,2x2 + 0,3x3= 0,35
> 0,1x1 + 0,5x2 + 0,2x3= 0,25
> x1 + x2 + x3 =10
Hallo,
die [mm] x_i [/mm] sagen ja, wieviel kg der drei Düngersorten [mm] D_i [/mm] Du verwendest.
Wenn Deine zu mischenden 10kg Dünger 40% Kalium enthalten sollen, sind das 4kg.
Die erste Gleichung müßte also heißen [mm] 0,4x_1 [/mm] + [mm] 0,3x_2 [/mm] + [mm] 0,5x_3 [/mm] = 4.
Bei Deiner Gleichung
> 0,4x1 + 0,3x2 + 0,5x3 = 0,4
stimmen die Einheiten nicht, Du hättest links kg, rechts eine Zahl.
Ebenso bei den darauffolgenden Gleichungen.
So etwas kann leicht passieren. Um nicht den Überblick zu verlieren, ist es hilfreich, sich am Beginn zu notieren, was man eigentlich mit den Variablen meint. Erstens vergißt man es dann nicht, und zweitens ist man gezwungen, sich zu entscheiden.
Im Beispiel würde ich als schreiben:
[mm] x_1: [/mm] die verwendete Menge von [mm] D_1 [/mm] in kg
Gruß v. Angela
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Mal ein Beispiel: Von 100% 18/10 Stahl bestehen 10% aus A, 50% aus B, 40% aus C und 5% aus D. Dann ist A+B+C+D=105%. Wir haben aber nur 100% zu Verfügung, weshalb A+B+C+D=100% sein muss.
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Hi,
"Von 100% 18/10 Stahl bestehen 10% aus A, 50% aus B, 40% aus C und 5% aus D." Dieser Satz ist doch bereits falsch, also mathematisch unkorrekt.
Ich weiß nicht, ob meine Frage unklar ist oder ob die Antwort bereits erwähnt wurde und ich sie einfach nicht verstehe, aber ich meine, dass meine Frage noch nicht verstanden wurde: bei beiden Aufgaben sind absolute Mengenangaben vorhanden, bei beiden Aufgaben geht es um ein Mischungsverhältnis, aber bei der einen (Stahl-Aufgabe) wird die Gleichung x1+x2+x3+x4=1 benötigt und bei der anderen (Dünger) nicht. Und ich verstehe nicht warum.
Trotzdem natürlich danke, dass ihr antwortet.
Gruß.
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"Von 100% 18/10 Stahl bestehen 10% aus A, 50% aus B, 40% aus C und 5% aus D." Dieser Satz ist doch bereits falsch, also mathematisch unkorrekt.
Eben. Und deshalb kann es so eine Mischung nicht geben, A+B+C+D muss also immer gleich 100% sein. Sollte ein Beispiel sein, das zeigt, dass alles andere für A+B+C+D unsinnig wäre.
Bei der anderen Aufgabe mit dem wird die Gleichung tatsächlich nicht benötigt.
Dort müssten (wenn ich mich nicht verrechnet habe) von A 40%, von B und C jeweils 30% genommen werden, also insgesamt 100%.
[Multipliziert man dann diese Relativangaben mit der Masse, so erhält man die gesuchten Lösungen. Wenn man die Gleichungen gleich so aufstellt, dass die absoluten Werte herauskommen, kann x1+x2+x3=1kg nicht funktionieren, dass es ja insgesamt nicht 1kg ist, dann müsste man statt 1 die Gesamtmasse nehmen.]
Man könnte die Gleichung also noch mit reinnehmen, doch da es nur 3 verschiedene Dünger (A, B und C) gibt, reichen 3 Gleichungen aus.
Bei der Stahlaufgabe aber hat man 4 Legierungen (A,B,C und D), also insgesamt 4 Unbekannte, folglich brauchst du noch eine weitere Gleichung.
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