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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Di 09.06.2009 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Beim Würfeln mit 4 symmetrischen Würfeln sei X die Augensumme.
1. Zeige, dass P(X=k)=P(X=28-k) gilt.
2. Berechne [mm] P(X\le [/mm] 10)
3. Bestimme mit Hilfe von 1. die Augensumme [mm] k_0, [/mm] für die [mm] P(X\le k_0)\le [/mm] 0,5 [mm] |
hallo,
zunächst hab ich mir überlegt, dass [mm] 4\le X\le [/mm] 24.
wie rechne ich nun die einzelnen wahrscheinlichkeiten aus? Dazu habe ich mir zunächst einige Beispiele aufgeschrieben, um eine Regelmäßigkeit zu erkennen....
k=5: hier sind die beiden ziffern 1,2 möglich--ergibt insgesamt 4 möglichkeiten
k=6: hier kann man nun 1,2,3 benutzen--ich erhalte 10 möglichkeiten
k=7: 1,2,3,4--20
k=8:1,2,3,4,5--29.......
wie könnte ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten erhalten, mit günstige/mögliche?? Insgesamt gibt es hier [mm] 6^4 [/mm] Möglichkeiten, oder? Für k=5 würde ich dann schreiben: [mm] \bruch{4}{6^4}
[/mm]
bin ich da völlig auf dem Holzweg? WIe könnte ich das ganze verallgemeinern?
vielen dank für jede erdenkliche hilfe!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:01 Mi 10.06.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi,
> zunächst hab ich mir überlegt, dass [mm]4\le X\le[/mm] 24.
> wie rechne ich nun die einzelnen wahrscheinlichkeiten aus?
> Dazu habe ich mir zunächst einige Beispiele aufgeschrieben,
> um eine Regelmäßigkeit zu erkennen....
> k=5: hier sind die beiden ziffern 1,2 möglich--ergibt
> insgesamt 4 möglichkeiten
> k=6: hier kann man nun 1,2,3 benutzen--ich erhalte 10
> möglichkeiten
> k=7: 1,2,3,4--20
> k=8:1,2,3,4,5--29.......
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Fuer die Augensumme 8 gibt es 35 Moeglichkeiten.
>
>
> wie könnte ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten erhalten,
> mit günstige/mögliche?? Insgesamt gibt es hier [mm]6^4[/mm]
> Möglichkeiten, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst die Verteilung von [mm] $X_4$ [/mm] mit Hilfe von Faltungen erhalten. Fuer zwei Wuerfel [mm] ($X_2$) [/mm] geht das so: Betrachte die folgende Tabelle:
| 1: |
| | 2: | [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
| | 3: | [1,] 2 3 4 5 6 7
| | 4: | [2,] 3 4 5 6 7 8
| | 5: | [3,] 4 5 6 7 8 9
| | 6: | [4,] 5 6 7 8 9 10
| | 7: | [5,] 6 7 8 9 10 11
| | 8: | [6,] 7 8 9 10 11 12
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In ihr sind alle Augensummen notiert. Du siehst darin, dass die Augensumme 3 auf zwei Weisen entstehen koennen, so dass die zugehoerige Wsk 2/36 ist. Somit kannst du die folgende Tabelle fuer die Augensummen [mm] $X_2$ [/mm] erstellen:
| 1: |
| | 2: | 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
| | 3: | 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
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Fahre nun mit [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] fort, um die Verteilung von [mm] $X_3$ [/mm] und anschliessend mit [mm] $X_1$ [/mm] und [mm] $X_3$, [/mm] umd die Verteilung von [mm] $X_4$ [/mm] zu erhalten. Noch direkter ist es, mit [mm] $X_2$ [/mm] und [mm] $X_2$ [/mm] die Verteilung von [mm] $X_4$ [/mm] zu erhalten.
Als spezieller Service des Hauses hier das Ergebnis (die Werte der zweiten Spalte sind durch [mm] $6^4$ [/mm] zu dividieren):
| 1: |
| | 2: | 4 1
| | 3: | 5 4
| | 4: | 6 10
| | 5: | 7 20
| | 6: | 8 35
| | 7: | 9 56
| | 8: | 10 80
| | 9: | 11 104
| | 10: | 12 125
| | 11: | 13 140
| | 12: | 14 146
| | 13: | 15 140
| | 14: | 16 125
| | 15: | 17 104
| | 16: | 18 80
| | 17: | 19 56
| | 18: | 20 35
| | 19: | 21 20
| | 20: | 22 10
| | 21: | 23 4
| | 22: | 24 1
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vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
besten Dank!
von diesen Faltungen habe ich noch nichts gehört, aber ich hab das ganze mal aufgeschrieben und ausgerechnet- ist ne Menge Schreibarbeit, dafür bekommt man eine tolle Übersicht. Und hurra, ich erhalte auch deine ergebnisse!
Wenn ich diese Verteilung so aufschreibe, ist ja offensichtlich, dass a) gilt. Oder sollte ich da zusätzlich noch etwas zeigen?
und b) lässt sich dann auch leicht berechnen.
und c) hier ist es angebracht, in die tabelle neben P(X=k) noch eine Spalte mit [mm] P(X\le [/mm] k) zu schreiben, oder?! und ist hier dann einfach nur der Median gefragt, welcher meines Erachtens bei [mm] k_0=13 [/mm] liegt?!
Gruß und Dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mi 10.06.2009 | | Autor: | gigi |
Herzlichen Dank!
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