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| Aufgabe | Man drücke [mm] cos(4\alpha) [/mm] und [mm] sin(4\alpha) [/mm] durch [mm] cos\alpha [/mm] und [mm] sin\alpha [/mm] aus.
Hinweis: [mm] cos(n\alpha)+j*sin(n\alpha)=(cos\alpha+j*sin\alpha)^{n} [/mm] |
Hallo,
ich habe schon mehrere solcher Aufgaben gerechnet. Bei dieser gefällt mir mein Ergebnis nicht. Habe ich mich irgendwo verrechnet? Ich habe alles schon 5mal kontrolliert.
[mm] cos(4\alpha)+j*sin(4\alpha)=(cos\alpha+j*sin\alpha)^{4}
[/mm]
Pascalsches Dreieck zur Hilfe genommen und ausmultipliziert ergibt:
[mm] cos^{4}\alpha+4cos^{3}\alpha*j*sin\alpha+6cos^{2}\alpha*j^{2}*sin^{2}\alpha+4cos\alpha*j^{3}*sin^{3}\alpha+j^{4}*sin^{4}\alpha
[/mm]
Nun beachten das für die Potenzen von j gilt:
[mm] j^{2}=-1
[/mm]
[mm] j^{3}=-j
[/mm]
[mm] j^{4}=1
[/mm]
Dies für j berücksichtigt, und in eine anständige Form gebracht ergibt:
[mm] cos^{4}\alpha-6cos^{2}\alpha*sin^{2}\alpha+sin^{4}\alpha+j*(4cos^{3}\alpha*sin\alpha-4cos\alpha*sin^{3}\alpha)
[/mm]
Nun berücksichtigen, dass gilt:
[mm] sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1
[/mm]
[mm] sin^{2}\alpha=1-cos^{2}\alpha
[/mm]
[mm] cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha
[/mm]
Ergibt für das Endergebnis:
[mm] cos(4\alpha)= cos^{4}\alpha-6cos^{2}\alpha*sin^{2}\alpha+sin^{4}\alpha
[/mm]
[mm] =cos^{4}\alpha-6cos^{2}\alpha*(1-cos^{2}\alpha)+(1-cos^{2}\alpha)^{2}
[/mm]
[mm] =cos^{4}\alpha-6cos^{2}\alpha+6cos^{4}\alpha+1-2cos^{2}\alpha+cos^{4}\alpha
[/mm]
[mm] =8cos^{4}\alpha-8cos^{2}\alpha+1
[/mm]
Die 1 macht mich etwas stutzig. Ist das so richtig?
[mm] sin(4\alpha)=4cos^{3}\alpha*sin\alpha-4cos\alpha*sin^{3}\alpha
[/mm]
[mm] =4*(1-sin^{2}\alpha)*cos\alpha*sin\alpha-4cos\alpha*sin^{3}\alpha
[/mm]
[mm] =4cos\alpha(sin\alpha-2sin^{3}\alpha)
[/mm]
[mm] =4(\wurzel{1-sin^{2}\alpha})*(sin\alpha-2sin^{3}\alpha)
[/mm]
Hier blieb ein Kosinusausdrück übrig, den ich nur durch die Wurzel mit Sinus ausdrücken konnte. Finde ich nicht besonders schön. Ist das denn richtig?
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Hallo Andi,
Deine Ergebnisse sind so richtig.
Wozu muss [mm] \sin{(4\alpha)} [/mm] denn unbedingt als [mm] f(\sin{\alpha}) [/mm] angegeben werden? Man begnügt sich hier normalerweise dann mit dem Ergebnis, wenn nur noch [mm] \sin{\alpha} [/mm] und [mm] \cos{\alpha} [/mm] vorkommen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 So 21.10.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Vielen Dank!
Kann ich nicht sagen, so hat man es uns beigebracht. Ich wurde nur misstrauisch, weil die Ergebnisse für n=2,3,5 "sauberer" waren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 So 21.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Kann ich nicht sagen, so hat man es uns beigebracht.
Ja, da gibt es manchmal Puristen...
Nicht immer ist die "sortenreine" Form auch eleganter, dafür ist sie meistens eindeutig formuliert. Beides (Eleganz und Eindeutigkeit) kann ja ein Vorteil sein, im Idealfall hat man beides. 
> Ich wurde nur misstrauisch, weil die Ergebnisse für n=2,3,5
> "sauberer" waren.
Klar, aber das hört irgendwann auf. Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier, da stehen noch mehr.
Grüße
reverend
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