Ausfallwahrscheinlichkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Di 29.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
| Aufgabe | Eine Maschine bestehe aus drei nacheinander angeordneten Teilsystemen A,B,C, die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeiten 0.2, 0.3, 0.6 ausfallen können. Die Maschine funktioniert nur, wenn alle Teilsysteme funktionieren.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Maschine funktionsfähig ?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt genau ein Teilsystem aus ?
c) Angenommen, es fällt genau ein Teilsystem aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Felher bei A ? Bei B ? Bei C? Probe: Ist die Summe der errechneten Wahrscheinlichkeiten auch wirklich Eins ?
d) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit aus (a), wenn dem Teilsystem C noch zwei unabhängige Reservesysteme (ebenfalls mit der Ausfallwahrscheinlichkeit 0.6) parallel geschaltet werden ?
e) Wie viele parallel geschaltete Ersatzsysteme in C werden benötigt, damit die Funktionsfähigkeit des gesamten Systems mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit gewährleistet ist ? Kann man so auch 60% erreichen ? |
Hallo,
zur a) habe ich bereits folgendes:
Das gesamte System funktioniert mit der Wahrscheinlichkeit [mm] \overline{p(A)}*\overline{p(B)}*\overline{p(C)}=0.8*0.7*0.4=0.224=22.4\%
[/mm]
b)
Demnach fällt mindestens ein Teilsystem mit der Wahrscheinlichkeit von [mm] 1-0.224=77.6\% [/mm] aus.
Wie hoch ist nun aber die Wahrscheinlichkeit das genau ein Teilsystem aufällt ?
Ist es etwa:
Wahrscheinlichkeit das genau C ausfällt: [mm] \overline{p(A)}*\overline{p(B)}*0.6 [/mm] = 0.336
Wahrscheinlichkeit das genau B ausfällt: [mm] \overline{p(A)}*0.3*\overline{p(C)} [/mm] = 0.096
Wahrscheinlichkeit das genau A ausfällt: [mm] 0.2*\overline{p(B)}*\overline{p(C)} [/mm] = 0.056
=> Wahrscheinlichkeit das genau ein Teilsystem ausfällt = 0.056+0.096+0.336= [mm] 0.488=48.8\% [/mm] ?
und somit würde sich auch gleich für c) folgern:
Wahrscheinlichkeit des Ausfalls wegen C= [mm] \bruch{33.6}{48.8}=0.688525
[/mm]
Wahrscheinlichkeit des Ausfalls wegen B= [mm] \bruch{9.6}{48.8}=0.196721
[/mm]
Wahrscheinlichkeit des Ausfalls wegen A= [mm] \bruch{5.6}{48.8}=0.114754
[/mm]
Probe: 0.688525+0.196721+0.114754=1
Ist das korrekt soweit ?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:45 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
stimmt alles.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 29.11.2011 | | Autor: | bammbamm |
Dankeschön,
"d) Wie ändert sich die Wahrscheinlichkeit aus (a), wenn dem Teilsystem C noch zwei unabhängige Reservesysteme (ebenfalls mit der Ausfallwahrscheinlichkeit 0.6) parallel geschaltet werden ? "
Die Wahrscheinlichkeit in a) ist ja:
$ [mm] \overline{p(A)}\cdot{}\overline{p(B)}\cdot{}\overline{p(C)}=0.8\cdot{}0.7\cdot{}0.4=0.224=22.4\% [/mm] $
Wie berechne ich dann die Wahrscheinlichkeit für die Funktion des Systems, wenn C 2 parallel Systeme mit Ausfallwahrscheinlichkeit 0.6 hinzugefügt werden ?
Wäre die Funktionswahrscheinlichkeit für C dann nicht [mm] 0.4^3 [/mm] ?
Dann wäre die Wahrscheinlichkeit, dass das Komplettsystem funktioniert aber nurnoch sehr gering bei [mm] 0.8*0.7*(0.4)^3=0.03584 [/mm] = [mm] 3.584\% [/mm] ?
Das kann ja nicht stimmen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 29.11.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wäre die Funktionswahrscheinlichkeit für C dann nicht $ [mm] 0.4^3 [/mm] $ ?
[mm] $0.4^3$ [/mm] ist viel kleiner als 0.4.
Sollten unabhängige Reservesysteme nicht die Funktionswahrscheinlichkeit erhöhen?
Wann funktioniert denn Teilsystem C nicht? Wenn alle 3 Systeme ausfallen.
Und was ist die Wkeit dafür?
ciao
Stefan
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Ich glaube ich habs:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von
1-(0.6*0.6*0.6) = 1-0.216 = 0.784 = [mm] 78.4\% [/mm] fällt C dann nicht komplett aus bzw. die Wahrscheinlichkeit das mindestens ein redundantes System von C ausfällt beträgt dann 0.6*0.6*0.6=0.216=21.6%
Somit würde sich die Wkt. für einen Totalausfall des Komplettsystems aus a) ändern um:
0.8*0.7*0.784 = 0.43904 ? [mm] 43.904\%
[/mm]
Ist das korrekt ?
Dadurch würde sich für e) ergeben:
[mm] 0.8*0.7*(1-0.6^x) \ge [/mm] 0.5
x [mm] \ge [/mm] 4.37251
=> man benötigt mindestens 4 (insgesamt also 5) redundante Systeme für C um die Wahrscheinlichkeit der Funktion auf 50% zu erhöhen.
Aufgrund x [mm] \ge \bruch{ln(\bruch{\overline{p(A)}*\overline{p(B)}-Wkt.}{\overline{p(a)}*\overline{p(b)}}}{ln(\overline{p(c)})} [/mm] und dem nicht definierten Logarithmus von 0
Kann man die Wkt für die Funktion des Gesamtsystems nicht weiter erhöhen als [mm] \overline{p(A)}*\overline{p(B)}-Wkt.
[/mm]
Wkt. < [mm] \overline{p(A)}*\overline{p(B)} [/mm] = 0.56
Das müsste so stimmen ?!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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