Ausgleichsparabel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:45 Mo 20.06.2005 | | Autor: | Gekko |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich bin neu hier, also bitte nicht so streng sein 
Folgendes Problem stellt sich mir:
Es sind die Daten
-1 0 1 2 3
-------------------------
1,9 1,0 2,1 0,2 -2,7
gegeben und es sollen daraus die Koeffizienten der Ausgleichsparabel bestimmt werden.
Leider weiß ich nur, dass ich daraus eine Tabelle (i,xi,yi, [mm] x^{2}...) [/mm] erstellen muß und anschliessend die Summe der Spalten bilden muß.
Weiß jemand wie man von dieser Tabelle Schritt für Schritt zur Ausgleichsparabel kommt, und könnte mir das hier erläutern ?!
Das wäre super 
Vielen Dank und sonnige Grüße aus Hamburg
Björn
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Hallo Gekko,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Folgendes Problem stellt sich mir:
> Es sind die Daten
> -1 0 1 2 3
> -------------------------
> 1,9 1,0 2,1 0,2 -2,7
>
> gegeben und es sollen daraus die Koeffizienten der
> Ausgleichsparabel bestimmt werden.
> Leider weiß ich nur, dass ich daraus eine Tabelle (i,xi,yi,
> [mm]x^{2}...)[/mm] erstellen muß und anschliessend die Summe der
> Spalten bilden muß.
zunächst handelt es sich mal um ein Minimierungsproblem. Gesucht sind also die Parameter a,b,c für welche die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum wird:
[mm]\sum\limits_{i = 1}^{n} {\left( {y_{i} \; - \;a\;x_{i}^2 \; - \;b\;x_{i} \; - \;c} \right)^{2} } \; \to \;\min [/mm]
Durch partielle Differentiation nach a,b und c erhältst Du dann ein Gleichungssystem für a,b und c:
[mm]\begin{gathered}
\frac{\delta }
{{\delta a}}\;:\; - 2\;\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 \left( {y_i \; - \;a\;x_i^2 \; - \;b\;x_i \; - \;c} \right)\; = \;0} \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta b}}\;:\; - 2\;\sum\limits_{i = 1}^n {x_i \left( {y_i \; - \;a\;x_i^2 \; - \;b\;x_i \; - \;c} \right)\; = \;0} \hfill \\
\frac{\delta }
{{\delta c}}\;:\; - 2\;\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {y_i \; - \;a\;x_i^2 \; - \;b\;x_i \; - \;c} \right)\; = \;0} \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Das ergibt folgendes Gleichungssystem:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^4 } } & {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^3 } } & {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } } \\
{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^3 } } & {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } } & {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } } \\
{\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2 } } & {\sum\limits_{i = 1}^n {x_i } } & n \\
\end{array} } \right)\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
a \\
b \\
c \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{\sum\limits_{i = 1}^n {y_i \;x_i^2 } } \\
{\sum\limits_{i = 1}^n {y_i \;x_i } } \\
{\sum\limits_{i = 1}^n {y_i } } \\
\end{array} } \right)[/mm]
Die Ausdrücke, die da in der Matrix und auf der rechten Seite stehen, mußt Du nun ausrechnen und das entstehende Gleichungssystem lösen.
Gruß
MathePower
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