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| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger Induktion:
-Für jeden n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] (n-1)^3+n^3+(n+1)^3 [/mm] durch 9 teilbar. |
Hallo Leute,
also ich geh nach meinem Schema vor:
IA n=1: [mm] (1-1)^3+1^3+(1+1)^3 [/mm] ergibt 0+1+8=9 und 9/9= 1. Okay
IS n folgt n+1: [mm] ((n+1)-1)^3+(n+1)^3+((n+1)+1)^3
[/mm]
wenn ich das alles ausrechne, dann komme ich auf
[mm] 3n^3+9n^2+15n+9
[/mm]
aber wie geht es weiter??
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Hallo derahnungslose,
> Beweisen Sie folgende Aussage mit vollständiger
> Induktion:
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> -Für jeden n [mm]\in \IN[/mm] ist [mm](n-1)^3+n^3+(n+1)^3[/mm] durch 9
> teilbar.
> Hallo Leute,
>
> also ich geh nach meinem Schema vor:
>
> IA n=1: [mm](1-1)^3+1^3+(1+1)^3[/mm] ergibt 0+1+8=9 und 9/9= 1.
> Okay
>
> IS n folgt n+1: [mm]((n+1)-1)^3+(n+1)^3+((n+1)+1)^3[/mm]
>
> wenn ich das alles ausrechne, dann komme ich auf
>
> [mm]3n^3+9n^2+15n+9[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Es ist also zu zeigen, dass unter der Vor., dass [mm] $9\mid\left[(n-1)^3+n^3+(n+1)^3\right] [/mm] \ \ \ [mm] (\text{IV})$ [/mm] auch gilt, dass
[mm] $9\mid\left[3n^3+9n^2+15n+9\right]$
[/mm]
Multipliziere mal in der IV aus und subtrahiere das von dem letzten Term, von dem zu zeigen ist, dass 9 ihn teilt...
Finde also raus, was du zu [mm] $(n-1)^3+n^3+(n+1)^3$ [/mm] addieren musst, um bei [mm] $n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$ [/mm] zu landen.
>
> aber wie geht es weiter??
Du brauchst im Prinzip die Teilbarkeitsregel: [mm] $a\mid [/mm] b$ und [mm] $a\mid [/mm] c$, dann [mm] $a\mid [/mm] (b+c)$
Hier $a=9,b=IV-Term, c=...$
Gruß
schachuzipus
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vielen danke für deine mühe :) mir sagen die teilbarkeitsgesetze nichts, aber würde es denn auch so gehen,wenn ich so argumentiere:
[mm] n^3+(n-1)^3+(n+1)^3 [/mm] = [mm] 3n^3+6n [/mm] die ist ja voraussetzung und wenn ich jetzt [mm] 9n^2+9n+9 [/mm] addiere müsste es ja auch durch 9 teilbar sein, weil jeder summand durch 9 teilbar ist, oder?
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Hallo nochmal,
> vielen danke für deine mühe :) mir sagen die
> teilbarkeitsgesetze nichts, aber würde es denn auch so
> gehen,wenn ich so argumentiere:
>
> [mm]n^3+(n-1)^3+(n+1)^3[/mm] = [mm]3n^3+6n[/mm] die ist ja voraussetzung und
> wenn ich jetzt [mm]9n^2+9n+9[/mm] addiere müsste es ja auch durch 9
> teilbar sein, weil jeder summand durch 9 teilbar ist, oder?
Genauso ist es!
Der Summand [mm] $a=3n^2+6n$ [/mm] ist durch 9 teilbar, der Summand [mm] $9n^2+9n+9=9(n^2+n+1)$ [/mm] offensichtlich auch.
Damit ist auch die Summe $a+b$ durch 9 teilbar, und [mm] $a+b=n^3+(n+1)^3+(n+2)^3$
[/mm]
Und genau das war ja im Induktionsschritt zu zeigen
Du hast also richtig argumentiert!
Gruß
schachuzipus
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