Aussage beweisen/widerlegen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen sie diese Aussage ggf. mit einem Gegenbeispiel :
A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) = (A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C ) |
Hi.
Ich habe mir erstmal Gedanken über diese Aussage gemacht.
(A und B) ohne C = (A und B) ohne (A und C).
Ich verstehe es doch richtig so ?
Diese Aussage klingt für so jedenfalls schonmal richtig.
Versucht zu beweisen habe ich es so:
Zu zeigen :
(1) A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) [mm] \le [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C )
(2) ( A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \le [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( B \ C )
Dann habe ich mit der (1) begonnen.
Es sei:
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] C
Fall (1)
x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C
(A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) [mm] \le [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C )
Ist das soweit überhaupt richtig.. ?
lg
Micha
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:15 Sa 17.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
>
>
> Dann habe ich mit der (1) begonnen.
> Es sei:
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B \ C ) [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B und
> x [mm]\not\in[/mm] C
> Fall (1)
> x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> x [mm]\not\in[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] C
>
> (A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] C ) [mm]\Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B \ C )
> [mm]\le[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] C )
>
> Ist das soweit überhaupt richtig.. ?
>
Im Prinzip ja, jedoch kann man das fuer meinen Geschmack praegnanter formulieren: Aus $x [mm] \in [/mm] A $ , $x [mm] \in [/mm] B $ und [mm] $x\not\in [/mm] C $ folgt [mm] $x\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$ und [mm] $x\not \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C )$, also [mm] $x\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B ) [mm] \setminus [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] C )$.
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 So 18.11.2012 | | Autor: | Coup |
Danke für die Antwort Luis.
Ich habe noch Probleme mit der Schreibweise da ich mich mit Mengen noch nicht gut auskenne.
Ich muss ja auch noch zeigen, dass ( A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C ) [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) ist oder ?
Dann habe ich es so formuliert :
y [mm] \in [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C )
=> y [mm] \in [/mm] A u B und y [mm] \not\in [/mm] A u C
=> ( A [mm] \cap [/mm] B ) \ ( A [mm] \cap [/mm] C )
Wie kann ich es denn schöner notieren sofern das hier überhaupt richtig ist ?
lg und danke
Micha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort Luis.
> Ich habe noch Probleme mit der Schreibweise da ich mich
> mit Mengen noch nicht gut auskenne.
> Ich muss ja auch noch zeigen, dass ( A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm]
> C ) [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B \ C ) ist oder ?
das solltest Du!
> Dann habe ich es so formuliert :
> y [mm]\in[/mm] ( A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] C )
> => y [mm]\in[/mm] A u B und y [mm]\not\in[/mm] A u C
> => ( A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] C )
Nach dem letzten [mm] $\Rightarrow$ [/mm] steht keine Aussage mehr, sondern nur
"irgendein Puzzleteil". Ansonsten sind da einige Fehler: $y [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B$
bedeutet $y [mm] \in [/mm] A$ und $y [mm] \in B\,.$
[/mm]
> Wie kann ich es denn schöner notieren sofern das hier
> überhaupt richtig ist ?
Schreib's lieber nochmal komplett neu auf (auch den anderen Beweisteil,
denn wie gesagt: anstatt [mm] $\le$ [/mm] gehört da [mm] $\subseteq$ [/mm] hin).
Aus $y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$ folgt, dass gilt:
Es ist $y [mm] \in [/mm] A$ und es ist $y [mm] \in B\,,$ [/mm] aber es ist gilt nicht, dass $y [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$ ist.
Dann ist $y [mm] \in [/mm] A$ und $y [mm] \in [/mm] B$ und: es ist zugleich $y [mm] \notin [/mm] A$ oder $y [mm] \notin C\,.$
[/mm]
Also bleiben die beiden Fälle:
1. Fall: $y [mm] \in [/mm] A$ und $y [mm] \in [/mm] B$ und $y [mm] \notin A\,.$
[/mm]
oder
2. Fall: $y [mm] \in [/mm] A$ und $y [mm] \in [/mm] B$ und $y [mm] \notin C\,.$
[/mm]
Ein bisschen hingucken zeigt, dass einer dieser nicht möglich ist. Der
andere führt geradewegs zum Ziel...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Mo 19.11.2012 | | Autor: | Coup |
Vielen Dank Marcel.
Beim Hinsehen wird ja klar das y nicht Element von A und gleichzeitig kein Element von A sein kann.
Somit betrachte ich Fall 2.
=> y [mm] \in [/mm] A und y [mm] \in [/mm] B und y [mm] \not\in [/mm] C
=> A [mm] \cap [/mm] ( B \ C ) ( Kann ich das direkt so aufschreiben ? )
=> (A [mm] \cap [/mm] B) \ ( A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \subseteq [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( B \ C )
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mo 19.11.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Somit betrachte ich Fall 2.
> => y [mm]\in[/mm] A und y [mm]\in[/mm] B und y [mm]\not\in[/mm] C
> => A [mm]\cap[/mm] ( B \ C ) ( Kann ich das direkt so
> aufschreiben ? )
Nein, wieder nur so ein verlorenes Puzzle-Teil (insbesondere keine Aussage). Das heisst so: [mm] $\Rightarrow y\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] ( [mm] B\setminus [/mm] C )$
> => (A [mm]\cap[/mm] B) \ ( A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\subseteq[/mm] A [mm]\cap[/mm] ( B \ C )
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (Das ist eine Aussage)
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
anstatt des [mm] $\le$ [/mm] meintest Du vermutlich [mm] $\subseteq\,.$
[/mm]
> Beweisen oder widerlegen sie diese Aussage ggf. mit einem
> Gegenbeispiel :
> A [mm]\cap[/mm] ( B \ C ) = (A [mm]\cap[/mm] B ) \ ( A [mm]\cap[/mm] C )
Das kann man auch schnell so beweisen:
$$A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \setminus [/mm] C)=A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cap C^c)$$
[/mm]
und es gilt
$$(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)=(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A [mm] \cap C)^c=(A \cap B)\cap (A^c \cup C^c)=((A \cap [/mm] B) [mm] \cap A^c) \cup [/mm] ((A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap C^c)=\emptyset \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap C^c=(A \cap [/mm] B) [mm] \cap C^c=A \cap [/mm] (B [mm] \cap C^c)$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
