Aussage über Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | X = Y, gdw. [mm]X \Delta Y \subseteq Z[/mm], [mm]\forall Z[/mm] |
Hallo,
ich soll obige Aussage beweisen. Mein Weg:
[mm]X = Y[/mm] bedeutet [mm]X \subseteq Y[/mm] und [mm]Y \subseteq X[/mm]. Wähle [mm]x \in X[/mm]. Man zeigt mit Widerspruch, dass auch [mm]x \in Y[/mm]. Falls [mm]x \not\in Y[/mm], so würde [mm]x \in X \setminus Y[/mm]. Dadurch folgt [mm]x \in (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)[/mm], was [mm]x \in X \Delta Y[/mm] ist. Diese Menge ist aber in Z, wodurch der Widerspruch folgt.
Reicht das als Beweis oder wäre noch die andere Richtung zu zeigen? Danke!
Gruß Ptolemaios
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Fr 26.04.2013 | | Autor: | valoo |
> X = Y, gdw. [mm]X \Delta Y \subseteq Z[/mm], [mm]\forall Z[/mm]
>
Ich nehme an für alle Mengen Z?
> Hallo,
>
> ich soll obige Aussage beweisen. Mein Weg:
> [mm]X = Y[/mm] bedeutet [mm]X \subseteq Y[/mm] und [mm]Y \subseteq X[/mm].
> Wähle [mm]x \in X[/mm]. Man zeigt mit Widerspruch, dass auch [mm]x \in Y[/mm].
Wenn $ X = Y $ ist das nicht trivial?
> Falls [mm]x \not\in Y[/mm], so würde [mm]x \in X \setminus Y[/mm].
> Dadurch folgt [mm]x \in (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)[/mm],
> was [mm]x \in X \Delta Y[/mm] ist. Diese Menge ist aber in Z,
> wodurch der Widerspruch folgt.
Für welches Z wäre das ein Widerspruch? Für alle Z bestimmt nicht...
> Reicht das als Beweis oder wäre noch die andere Richtung
> zu zeigen? Danke!
Wenn da genau dann steht, dann reicht nie eine Richtung! Aber das andere sollte ähnlich offensichtlich sein...Was nämlich ist, wenn die symmetrische Differenz in jeder Menge enthalten ist?
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> Gruß Ptolemaios
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Hallo valoo,
danke für deine Antwort. Für alle Mengen Z ist gemeint, richtig.
[mm](X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) = \emptyset[/mm]
Also wenn Z beispielsweise leer ist, dann folgt der Widerspruch. Oder worauf wolltest du hinaus?
Zur anderen Richtung: Aus [mm]A \setminus B[/mm] folgt [mm]A \setminus A = \emptyset[/mm], denn ein Element kann nicht in A und nicht in A sein. Durch die symmetrische Differenz folgt aus [mm]A \setminus B = \emptyset[/mm], dass auch [mm]B \setminus A = \emptyset[/mm] ist.
Liege ich falsch?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Fr 26.04.2013 | | Autor: | valoo |
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> Hallo valoo,
>
> danke für deine Antwort. Für alle Mengen Z ist gemeint,
> richtig.
> [mm](X \setminus Y) \cup (Y \setminus X) = \emptyset[/mm]
> Also
> wenn Z beispielsweise leer ist, dann folgt der Widerspruch.
> Oder worauf wolltest du hinaus?
Genau.
>
> Zur anderen Richtung: Aus [mm]A \setminus B[/mm]
Das ist keine Aussage! Daraus kann man nichts folgern.
> folgt [mm]A \setminus A = \emptyset[/mm],
> denn ein Element kann nicht in A und nicht in A sein. Durch
> die symmetrische Differenz folgt aus [mm]A \setminus B = \emptyset[/mm],
> dass auch [mm]B \setminus A = \emptyset[/mm] ist.
> Liege ich
> falsch?
Du musst annehmen, dass die symmetrische Differenz in allen Mengen enthalten ist und dann zeigen, dass $ A = B $ ist. Was folgt für Z leer?
> Danke!
>
> Gruß Ptolemaios
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Also: Aus [mm]X \setminus Y := \left \{ x | x \in X \wedge x \not\in Y \right \}[/mm] folgt [mm]X \setminus X = \emptyset[/mm]. Da [mm]X%20%20%5Csetminus%20Y%20%3D%20%5Cemptyset[/mm] und [mm]Y \setminus X = \emptyset[/mm] und nach Annahme [mm]X \Delta Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)[/mm] gilt, folgt [mm]X \Delta Y = \emptyset \cup \emptyset[/mm], also würde für [mm]Z = \emptyset[/mm], aus X = Y, [mm]X \Delta Y \subseteq Z[/mm] folgen.
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
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> Also: Aus [mm]X \setminus Y := \left \{ x | x \in X \wedge x \not\in Y \right \}[/mm] folgt [mm]X \setminus X = \emptyset[/mm].
[mm] $X\setminus X=\emptyset$ [/mm] ist ALLGEMEINGÜLTIG in dem Sinne, dass es für alle
Mengen [mm] $X\,$ [/mm] gilt. Triviales zu benutzen ist hier sicher nicht
der Sinn der Sache.
Du hast nun bei [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] die VORAUSSETZUNG, dass $X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z$ für
alle Mengen [mm] $Z\,$ [/mm] gilt.
Daraus folgt, dass Du insbesondere [mm] $Z=\emptyset$ [/mm] wählen darfst, es gilt
also insbesondere $X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq \emptyset\,.$ [/mm]
(Zusatzbemerkung: Wegen [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] R$ für alle Mengen [mm] $R\,$ [/mm] gilt
aber insbesondere wiederum auch [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] X [mm] \Delta Y\,,$ [/mm] und wir dürften
daher an dieser Stelle aus
[mm] $$\emptyset \subseteq [/mm] X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq \emptyset$$
[/mm]
sogar schon $X [mm] \Delta Y=\emptyset$ [/mm] folgern!)
Per Definitionem ist
$$X [mm] \Delta [/mm] Y=(X [mm] \setminus [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (Y [mm] \setminus X)\,.$$
[/mm]
Begründe nun (etwa mit einem Widerspruchsbeweis):
Wenn $X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq \emptyset$ [/mm] ist, so muss SOWOHL $X [mm] \setminus Y=\emptyset$ [/mm]
als auch $Y [mm] \setminus X=\emptyset$ [/mm] gelten.
Beweise, falls unbekannt, noch: $R [mm] \setminus T=\emptyset \red{\;\Longrightarrow\;} [/mm] T [mm] \subseteq R\,.$ [/mm]
(Tatsächlich gilt hier sogar [mm] $\red{\;\iff\;}$!)
[/mm]
Folgere damit nun die Behauptung (da fehlen nun zwei
kleine Schritte, und alles ist fertig)!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
danke für deinen Einstieg und deine Antwort. Also ehrlich gesagt verstehe ich gar nichts mehr. Den Beweis in die vor dir angegebene Richtung habe ich doch bereits in meinem Ausgangspost erbracht?
Zu deinem letzten Schritt, meinst du so:
Aus X = Y, folgt sowohl [mm]X \subseteq Y[/mm] als auch [mm]Y \subseteq X[/mm]. [mm]Y \subseteq X[/mm] bedeutet, dass für alle [mm]x \subseteq Y[/mm] auch [mm]x \subseteq X[/mm] gelten muss, und für [mm]X \subseteq Y[/mm] gilt das gleiche umgekehrt. Also folgt [mm]X \setminus Y = \emptyset[/mm]. Wegen der symmetrischen Differenz folt, Y = X und damit [mm]Y \setminus X = \emptyset[/mm]. Nach Annahme ist [mm]X \Delta Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)[/mm], also [mm]X \Delta Y = \emptyset \cup \emptyset[/mm].
Gruß Ptolemaios
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:31 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deinen Einstieg und deine Antwort. Also ehrlich
> gesagt verstehe ich gar nichts mehr. Den Beweis in die vor
> dir angegebene Richtung habe ich doch bereits in meinem
> Ausgangspost erbracht?
ich habe valoos zweite Antwort gelesen, und die hätte doch zu
[mm] $\Longleftarrow$ [/mm] gepasst.
> Zu deinem letzten Schritt, meinst du so:
>
> Aus X = Y, folgt sowohl [mm]X \subseteq Y[/mm] als auch [mm]Y \subseteq X[/mm].
>
> [mm]Y \subseteq X[/mm] bedeutet, dass für alle [mm]x \subseteq Y[/mm]
> auch [mm]x \subseteq X[/mm] gelten muss, und für [mm]X \subseteq Y[/mm] gilt
> das gleiche umgekehrt. Also folgt [mm]X \setminus Y = \emptyset[/mm].
> Wegen der symmetrischen Differenz folt, Y = X und damit [mm]Y \setminus X = \emptyset[/mm].
> Nach Annahme ist [mm]X \Delta Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)[/mm],
> also [mm]X \Delta Y = \emptyset \cup \emptyset[/mm].
Ich blicke jetzt auch nicht mehr durch, was Du eigentlich wissen willst. Ich
mach's jetzt so:
Behauptung: X = Y, gdw. $ X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z $, $ [mm] \forall [/mm] Z $
Zu [mm] $\Longrightarrow$:
[/mm]
Es gilt nach Voraussetzung [mm] $X=Y\,.$ [/mm] Dann gilt sowohl $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ als auch $Y [mm] \subseteq X\,.$ [/mm]
Aus $X [mm] \subseteq [/mm] Y$ folgt $X [mm] \setminus Y=\emptyset$ [/mm] und aus $Y [mm] \subseteq [/mm] X$ folgt $Y [mm] \setminus X=\emptyset\,.$ [/mm] Daraus folgt
$$(X [mm] \setminus [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (Y [mm] \setminus X)=\emptyset \cup \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset \subseteq Z\;\;\;\; \forall Z\,.$$
[/mm]
Wegen $(X [mm] \setminus [/mm] Y) [mm] \cup [/mm] (Y [mm] \setminus [/mm] X)=X [mm] \Delta [/mm] Y$ ist also die Behauptung bewiesen! (Ich glaube,
im Wesentlichen hast Du DAS auch schonmal geschrieben oder schreiben
wollen - Du darfst halt nicht "nichtsaussagende Aussagen" benutzen. $X [mm] \setminus [/mm] Y$
sagt so ja nichts aus, mit $X [mm] \setminus Y=\emptyset$ [/mm] steht eine Aussage da, die
entweder wahr ist oder falsch sein kann!)
Zu [mm] $\Longleftarrow$: [/mm] Nach Voraussetzung gilt hier $X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] Z$ für alle Mengen [mm] $Z\,.$
[/mm]
Weil [mm] $Z=\emptyset$ [/mm] eine Menge ist, gilt insbesondere auch $X [mm] \Delta [/mm] Y [mm] \subseteq Z:=\emptyset\,.$
[/mm]
(Deine Aufgabe nun: Folgere mithilfe $X [mm] \Delta [/mm] Y=X [mm] \setminus [/mm] Y [mm] \cup [/mm] Y [mm] \setminus [/mm] X$ nun,
dass $X [mm] \setminus Y=\emptyset$ [/mm] und [mm] $Y\setminus X=\emptyset$ [/mm] gelten muss! Zudem habe ich gesagt:
Zeige auch, dass $R [mm] \setminus [/mm] T= [mm] \emptyset \Longrightarrow [/mm] R [mm] \subseteq T\,.$ [/mm] Zeige hier am Besten direkt
[mm] $\iff\,,$ [/mm] denn eigentlich haben wir schon in der ersten Beweisrichtung
$R [mm] \subseteq [/mm] T [mm] \Longrightarrow [/mm] R [mm] \setminus T=\emptyset$ [/mm] benutzt!)
Es folgt dann $X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] X$ und damit [mm] $X=Y\,.$ $\Box$
[/mm]
Was sein kann, ist, dass manche "Beweisstücke" auch bei beiden
Beweisrichtungen passen. Aber nochmal zusammenfassend:
Die Beweisrichtung [mm] "$\Longrightarrow$" [/mm] ergibt sich, weil man hier aus
[mm] $X=Y\,$ [/mm] halt $X [mm] \Delta Y=\emptyset$ [/mm] folgern kann und [mm] $\emptyset \subseteq [/mm] Z$ für alle Mengen [mm] $Z\,$ [/mm] gilt.
Bei der Beweisrichtung [mm] "$\Longleftarrow$" [/mm] benutzt man, dass man speziell [mm] $Z=\emptyset$ [/mm] wählen
kann und sich damit dann $X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] X$ ergibt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 Sa 27.04.2013 | | Autor: | Ptolemaios |
Hallo Marcel,
ich denke ich habe die Schritte der Aufgabe nun verstanden. Danke nochmal für deine Hilfe zur späten Stunde.
Gruß Ptolemaios
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