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| Aufgabe | Es seien I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und c [mm] \in [/mm] I. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen richtig oder falsch sind:
(i) Ist f [mm] \In [/mm] R(I), so gilt [mm] (\integral_{c}^{x}{f })'=f(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] I.
(ii) Ist f stetig auf I, so gilt [mm] (\integral_{c}^{x}{f })'=f(x) [/mm] für x [mm] \in [/mm] I.
(iii) Ist f di erenzierbar mit f' [mm] \in [/mm] R(I), so gilt [mm] \integral_{c}^{x}{f'(x) dx}=f(x) [/mm] für x [mm] \In [/mm] I.
(iv) Ist f [mm] \in [/mm] R(I) beschränkt, so ist f [mm] \in [/mm] R(II). (II ist I mit den randpunkten) |
also zu 1)2) naja jede stetige fkt ist eine regelfkt und eig müsste die stammfkt abgeleitet die fkt selber sein
aber ich weiß garnicht genau was c ist
naja für mich klingt 3 logisch
und 4) wenn die folge beschränkt ist ex auch an den grenzpunkten der grenzwert un deshalb müsst f [mm] \in [/mm] R(II) gelten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:50 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und c [mm]\in[/mm] I.
> Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen richtig oder
> falsch sind:
> (i) Ist f [mm]\In[/mm] R(I), so gilt [mm](\integral_{c}^{x}{f })'=f(x)[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] I.
> (ii) Ist f stetig auf I, so gilt [mm](\integral_{c}^{x}{f })'=f(x)[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] I.
> (iii) Ist f di erenzierbar mit f' [mm]\in[/mm] R(I), so gilt
> [mm]\integral_{c}^{x}{f'(x) dx}=f(x)[/mm] für x [mm]\In[/mm] I.
> (iv) Ist f [mm]\in[/mm] R(I) beschränkt, so ist f [mm]\in[/mm] R(II). (II
> ist I mit den randpunkten)
> also zu 1)2) naja jede stetige fkt ist eine regelfkt und
> eig müsste die stammfkt abgeleitet die fkt selber sein
> aber ich weiß garnicht genau was c ist
[mm] $c\,$ [/mm] ist, wie Du doch geschrieben hast, eine Zahl aus [mm] $I\,,$ [/mm] die beliebig gewählt werden kann, aber sobald sie gewählt wurde, festgehalten wird. Es könnte also oben genausogut stehen:
Sei $c [mm] \in [/mm] I$ beliebig, aber fest...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und c [mm]\in[/mm] I.
> Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen richtig oder
> falsch sind:
> (i) Ist f [mm]\In[/mm] R(I), so gilt [mm](\integral_{c}^{x}{f })'=f(x)[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] I.
> (ii) Ist f stetig auf I, so gilt [mm](\integral_{c}^{x}{f })'=f(x)[/mm]
> für x [mm]\in[/mm] I.
> (iii) Ist f di erenzierbar mit f' [mm]\in[/mm] R(I), so gilt
> [mm]\integral_{c}^{x}{f'(\red{t}) d\red{t}}=f(x)[/mm] für x [mm]\In[/mm] I.
ich habe die Integrationsvariable zu [mm] $\red{t}$ [/mm] umbenannt zur Vermeidung von Doppelbezeichnungen!
> (iv) Ist f [mm]\in[/mm] R(I) beschränkt, so ist f [mm]\in[/mm] R(II). (II
> ist I mit den randpunkten)
> also zu 1)2) naja jede stetige fkt ist eine regelfkt und
> eig müsste die stammfkt abgeleitet die fkt selber sein
Wie habt ihr den Begriff Stammfunktion definiert? Und dann denke nochmal über den letzten Satz von Dir nach.
Wo steht bei (i), dass [mm] $f\,$ [/mm] stetig wäre? Dort steht nur, dass $f [mm] \in \text{R}(I)$ [/mm] sein soll.
@ (i):
Betrachte mal - für $-1 < c < 0$ - die auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] definierte Funktion
[mm] $$f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}\,.$$
[/mm]
Wie kann man damit für den allgemeinen Fall, wenn $I [mm] \subset \IR$ [/mm] ein beliebiges Intervall ist und $c [mm] \in [/mm] I$ beliebig, aber fest ist, ein Gegenbeispiel angeben?
@ (ii):
Das ist korrekt. Beweis? Folgt aus ![[]](/images/popup.gif) HDI, Satz 17.13; kannst Du das sauber aufschreiben?
> naja für mich klingt 3 logisch
Bei (iii) weiß ich zur Zeit nicht, ob das stimmt; stehe dem allerdings ein wenig skeptisch gegenüber. Wäre [mm] $f\!\,'$ [/mm] stetig, dann wäre das sicher richtig. Wenn man ein Gegenbeispiel sucht, dann braucht man also diff'bares [mm] $f\,$ [/mm] mit unstetiger Ableitung [mm] $f\!\,'\,.$ [/mm] Such vll. auch mal in obigem Skript, ob sich da nicht ein Gegenbeispiel findet.
> und 4) wenn die folge beschränkt ist ex auch an den
> grenzpunkten der grenzwert un deshalb müsst f [mm]\in[/mm] R(II)
> gelten?
Also ein paar Bemerkungen/Fragen:
1.) Du meinst, dass dann die Funktion beschränkt ist, oder?
2.) Es ist also sozusagen $II=I [mm] \cup \partial [/mm] I$?
3.) Anstatt Grenzpunkt meinst Du sicher Randpunkt.
Also @ (iv):
Schau' mal in Satz 17.6.
Und eine Kritik zu dem von Dir gesagten:
Wie erschließt sich bei Dir denn z.B. die Existenz von [mm] $\lim_{x \to a+} f(x)\,,$ [/mm] wenn [mm] $f\,$ [/mm] beschränkt auf [mm] $I\,$ [/mm] und wenn $a$ der linke Randpunkt von [mm] $I\,$ [/mm] ist? Hast Du ein Argument dafür, oder ist das einfach nur eine nicht bewiesene Behauptung? Ich sehe nämlich kein Argument Deinerseits dafür...
P.S.:
Ich hoffe, mit [mm] $\text{R}(I)$ [/mm] wird die Klasse der auf [mm] $I\,$ [/mm] Regel-integriebare Funktionen bezeichnet?!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:48 Mo 25.05.2009 | | Autor: | Kinghenni |
okay danke für deine antworten, ich werds nochmal genau durch gehen
ja ich meinte randpunkte
und ich meinte das jede stetige fkt eine Regelfkt ist, so hatten wir das in der vorlesung gesagt
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> > (i) Ist f [mm]\in[/mm] R(I), so gilt [mm](\integral_{c}^{x}{f })'=f(x)[/mm]
Unser HDI
Es seien I [mm] \subset [/mm] R ein Intervall, a [mm] \in [/mm] I und f [mm] \in [/mm] R(I). Die Funktion F : I [mm] \to [/mm] K sei defi niert durch
F(x) [mm] :=\integral_{c}^{x}{f(t)dt }
[/mm]
Dann gilt:
1. F ist stetig auf I.
2. Ist f stetig an der Stelle x0 [mm] \in [/mm] I, so ist F di fferenzierbar an x0 mit
F'(x0) = f(x0) :
also es müsste ein beispiel geben wo f nicht stetig an x0 ist?
Marcels beispiel
$ [mm] f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}\,. [/mm] $
hier ist f [mm] \in [/mm] R(I) und f ist nicht stetig an x=0
also ist [mm] F'(0)\not=f(0)?
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 27.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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