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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Aussagen, Affine Geometrie
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Aussagen, Affine Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:14 Do 30.06.2016
Autor: Petp

Aufgabe
Es seinen K ein Körper mit \mathbb{Q}\subseteq K, n>1, und \rho : K^{n} \to K^{n} eine bijektive, geradentreue Abbildung mit \rho (0)=0. Weiter seinen P,Q \in K^{n} linear unabhängig und E = [0,P,Q]. Zeigen Sie:
1) \rho (E) ist eine Ebene.
2) Es gibt einen Automorphismus \xi des Vektorraums K^{n},so dass für \psi = \xi \circ \rho gilt:
     (i) \psi(E)=E.
    (ii) 0,P und Q sind Fixpunkte von \psi .
3) Für alle n \in \mathbb{N} sind nP und nQ Fixpunkte von \psi .
4) für alle \alpha \in \mathbb{Q} sind \alphaP und \alphaQ Fixpunkte von \psi .
5) Für alle \alpha , \beta \in \mathbb{Q} ist \alphaP + \betaQ ein Fixpunkt von \psi.
6) \rho ist \mathbb{Q}-linear.
7) \rho ist nicht notwendigerweise K-linear.

Hi,
wäre schön wenn mir jemand bei der Bearbeitung der Aufgabe helfen könnte.

zur 1): sollte nicht direkt aus \rho ist eine bijektive, geradentreue Abbildung und \rho (0)=0 folgen, dass \rho (E) eine Ebene ist ?.

zur 2): folgt denn aus der (i) nicht direkt schon die (ii)?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Aussagen, Affine Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:34 Do 30.06.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

> Es seinen K ein Körper mit \mathbb{Q}\subseteq K, n>1, und
> \rho : K^{n} \to K^{n} eine bijektive, geradentreue
> Abbildung mit \rho (0)=0. Weiter seinen P,Q \in K^{n}
> linear unabhängig und E = [0,P,Q]. Zeigen Sie:
>  1) \rho (E) ist eine Ebene.
>  2) Es gibt einen Automorphismus \xi des Vektorraums
> K^{n},so dass für \psi = \xi \circ \rho gilt:
>       (i) \psi(E)=E.
>      (ii) 0,P und Q sind Fixpunkte von \psi .
>  3) Für alle
> n \in \mathbb{N} sind nP und nQ Fixpunkte von \psi .
>  4)
> für alle \alpha \in \mathbb{Q} sind \alphaP und \alphaQ
> Fixpunkte von \psi .
>  5) Für alle \alpha , \beta \in \mathbb{Q}
> ist \alphaP + \betaQ ein Fixpunkt von \psi.
>  6) \rho ist \mathbb{Q}-linear.
>  7) \rho ist nicht notwendigerweise K-linear.
>  Hi,
>  wäre schön wenn mir jemand bei der Bearbeitung der
> Aufgabe helfen könnte.
>  
> zur 1): sollte nicht direkt aus \rho ist eine bijektive,
> geradentreue Abbildung und \rho (0)=0 folgen, dass \rho (E)
> eine Ebene ist ?.

Selbst wenn jemand dieser Ansicht wäre, stellt diese Behauptung keinen Beweis dafür dar.

Also: ihr habt in der Vorlesung erklärt unter welchen Voraussetzungen man von einer Ebene spricht. Überprüfe, ob diese hier für [mm] $\rho(E)$ [/mm] erfüllt sind.

>  
> zur 2): folgt denn aus der (i) nicht direkt schon die
> (ii)?

Die Gleichung [mm] $\psi(E)= [/mm] E$ bedeutet nicht, dass [mm] $\psi(x)= [/mm] x$ für alle [mm] $x\in [/mm] E$ gilt, sondern nur, dass [mm] $\psi(x)$ [/mm] in $E$ enthalten ist, aber möglicherweise verschieden von $x$ ist.

Im übrigen siehe meine obige Bemerkung.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

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