Aussagen in Sätzen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 21.10.2012 | | Autor: | Slyke |
| Aufgabe | Sie kennen sicherlich die Liedzeile "Everybody needs somebody sometimes." - "Jeder braucht gelegentlich jemanden."
Untersuchen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob es sich um eine Negierung dieser Aussage handelt:
a) Niemand braucht niemals niemanden.
b) Niemand braucht gelegentlich jemanden.
c) Es gibt einen, der niemals jemanden braucht.
d) Es gibt einen, der nie von allen gebraucht wird.
e) Jedermann braucht immer niemanden.
f) Jemand braucht immer niemanden. |
Hallo erstmal^^,
ich verstehe das so, dass die Aussage oben A ist und die anderen Aussagen unten B sind. So diese muss ich nun überprüfen, ob sie A => -B sind. Doch wie kann ich das tun?
Mein eigener Ansatz für a) war (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] C [mm] \ne [/mm] (-A [mm] \wedge [/mm] -B) [mm] \wedge [/mm] -C
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Slyke und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Sie kennen sicherlich die Liedzeile "Everybody needs
> somebody sometimes." - "Jeder braucht gelegentlich
> jemanden."
> Untersuchen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob es
> sich um eine Negierung dieser Aussage handelt:
> a) Niemand braucht niemals niemanden.
> b) Niemand braucht gelegentlich jemanden.
> c) Es gibt einen, der niemals jemanden braucht.
> d) Es gibt einen, der nie von allen gebraucht wird.
> e) Jedermann braucht immer niemanden.
> f) Jemand braucht immer niemanden.
> Hallo erstmal^^,
>
> ich verstehe das so, dass die Aussage oben A ist und die
> anderen Aussagen unten B sind. So diese muss ich nun
> überprüfen, ob sie A => -B sind. Doch wie kann ich das
> tun?
>
> Mein eigener Ansatz für a) war (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C [mm]\ne[/mm]
> (-A [mm]\wedge[/mm] -B) [mm]\wedge[/mm] -C
Erkläre das mal bitte genauer.
Ich denke, dass du die Sätze mal in Aussagen umschreiben solltest.
Diese sollten "mit Leben gefüllt" werden.
Wir müssen mal Mengen definieren, auf die wir Bezug nehmen können.
Nehmen wir mal M:=Menge aller Menschen.
Dann können wir "Jeder" mit [mm]\forall m\in M[/mm] übersetzen.
Weiter brauchen wir eine Menge für "manchmal, immer" - etwa Z=Zeit, Zeitpunkte oder Momente (mal ganz lax geschrieben)
Dann (als Aussageform mit zwei Variablen) die Eigenschaft B(x,y) mit [mm]x \ B \ y \ \gdw \ [/mm]x braucht y
Damit könnte man den Ausgangssatz "Jeder braucht gelegentlich jemanden" umständlich schreiben als "Für alle Menschen [mm]m\in M[/mm] gilt: es gibt eine Zeit (Zeitpunkt, Moment) [mm]z\in Z[/mm], für die gilt: es gibt einen Menschen [mm]n\in M[/mm], so dass gilt: m B n
Mit Quantoren: [mm]\forall m\in M\exists z\in Z\exists n\in M: m \ B \ n[/mm]
Evlt. kann man noch [mm]n\neq m[/mm] einfügen, also als Aussage [mm](m\neq n) \ \wedge \ (m \ B \ n)[/mm] (würde ja Sinn ergeben, denn die Ausgangsaussage meint ja implizit, dass jeder mal jemand anderen braucht)
Nun negiere mal die Aussage mit den Quantoren und überlege, welche der zur Wahl stehenden Aussagen sich genauso schreiben lässt ...
>
> Danke im voraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 So 21.10.2012 | | Autor: | Slyke |
Danke für die schnelle Antwort. Ich habe jetzt durch "Nachdenken" mir überlegt, dass b und d eine Negierung von der Aussage sind.
für die b) (-A [mm] \wedge [/mm] -B) [mm] \wedge [/mm] C
fur die d) (A [mm] \wedge [/mm] -C) [mm] \wedge [/mm] -B
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 So 21.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
> Sie kennen sicherlich die Liedzeile "Everybody needs
> somebody sometimes." - "Jeder braucht gelegentlich
> jemanden."
> Untersuchen Sie bei jeder der folgenden Aussagen, ob es
> sich um eine Negierung dieser Aussage handelt:
> a) Niemand braucht niemals niemanden.
> b) Niemand braucht gelegentlich jemanden.
> c) Es gibt einen, der niemals jemanden braucht.
> d) Es gibt einen, der nie von allen gebraucht wird.
> e) Jedermann braucht immer niemanden.
> f) Jemand braucht immer niemanden.
> Hallo erstmal^^,
>
> ich verstehe das so, dass die Aussage oben A ist und die
> anderen Aussagen unten B sind. So diese muss ich nun
> überprüfen, ob sie A => -B sind. Doch wie kann ich das
> tun?
>
> Mein eigener Ansatz für a) war (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] C [mm]\ne[/mm]
> (-A [mm]\wedge[/mm] -B) [mm]\wedge[/mm] -C
>
> Danke im voraus
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
deine Schlussfolgerung in der Mitteilung ist nicht richtig. Mache dir unbedingt klar, dass die Negation von "für alle gilt" nicht "für alle gilt nicht" ist. Viel mehr reicht es aus, wenn ein Objekt existiert, für das etwas nicht gilt. Allgemein (mache dir das an Beispielen klar) lässt sich eine Aussage negieren, indem alle Elementaraussagen negiert werden und man alle "für alle" in "es existiert" und umgekehrt umwandelt sowie (auch wenn das hier keine Rolle spielt) "und" und "oder" vertauscht. Mit Elementaraussagen meine ich etwas wie [mm] x\not=3 [/mm] oder "m braucht jemanden".
Nutze die Übersetzung von schachuzipus in die Symbole der Logik und führe dann eine solche Negation durch. Übersetze außerdem nach dem Schema von schachuzipus auch die Aussagen a) bis f) in die Logik, dann wird nur eines davon zutreffen.
Viele Grüße
EDIT: Ich wurde richtigerweise darauf hingewiesen, dass doch mehrere Aussagen zutreffen. Sollte ich Verwirrung gestiftet haben, möchte ich mich entschuldigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 21.10.2012 | | Autor: | Slyke |
Hi,
wieder mal danke das ich so schnelle Antworten bekomme. Aber ich krieg mein Kopf nicht um diese Schreibweise. Könnte mir bitte jemand sagen wie das genau geht mit der umschreibung? Vielleicht an einem Beispiel das nicht gleich alle Symbole benutzt (Aquantor usw.)
Mein allerster Gedanke war, über alle wörter + oder - zu schreiben. Und habe diese lediglich mit einem [mm] \wedge [/mm] verbunden. Bitte verzeiht meine unwissendheit, aber ich bin langsam am verzweifeln q.q
Danke Slyke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 So 21.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
> Hi,
> wieder mal danke das ich so schnelle Antworten bekomme.
> Aber ich krieg mein Kopf nicht um diese Schreibweise.
> Könnte mir bitte jemand sagen wie das genau geht mit der
> umschreibung? Vielleicht an einem Beispiel das nicht gleich
> alle Symbole benutzt (Aquantor usw.)
Also die Symbole [mm] \lor [/mm] und [mm] \land [/mm] brauchst du schonmal gar nicht bei diesem Beispiel. Wichtig sind nur die Symbole [mm] \forall [/mm] und [mm] \exists. [/mm] Das umgedrehte A bedeutet "Für alle" und das umgedrehte E "Es existiert". Diese beziehen sich stehts auf Elemente einer gewissen Menge. In diesem Beispiel macht es Sinn, die Menge aller Menschen, die wir mit M bezeichnen wollen, zu betrachten. Dann lassen sich gewisse Aussagen über solche Elemente treffen. Beispielsweise m ist schön. Dies ist eine Aussage für einen bestimmten Menschen. Eine neue Aussage lässt sich bilden durch [mm] $\forall m\inM:m$ [/mm] ist schön. Dies bedeutet, dass alle Menschen schön sind. Dieser Aussage lässt sich ein Wahrheitswert w oder f zuordnen. Sagen wir einmal, die Aussage ist falsch. Dann ist die Negation zwangsläufig wahr. Wie man sich leicht überlegt, ist die Negation der Aussage nicht etwa [mm] $\forall m\in [/mm] M:m ist nicht schön$ (Alle Menschen sind nicht schön) sondern viel mehr reicht es schon, wenn ein einziger Mensch nicht schön ist. Es gilt daher: [mm] $\neg(\forall m\in [/mm] M:$m ist [mm] schön$)=\exists m\in [/mm] M:$m ist nicht schön . Solche Quantoren können natürlich auch hintereinandergeschaltet werden. Betrachten wir zum Beispiel die Menge aller Herren, H und die Menger aller Damen D. Außerdem soll [mm] x\sim{}y [/mm] heißen: X liebt Y. Dann wäre die Aussage "Jeder Herr wird von (mindestens) einer Dame geliebt": [mm] $\forall h\in H:\exists d\in [/mm] D: [mm] d\sim [/mm] h$. Die Verneinung erhält man durch: Es gibt (mindestens) einen Herr, der von keiner Frau geliebt wird, also: [mm] $\exists h\in H:\forall d\in D:\neg{}d\sim [/mm] h$.
Übertrage dies auf dein Problem. Wähle also Z als die Menge aller Zeitpunkte und bezeichne die Elemente dieser Menge mit z und nenne M die Menge aller Menschen und die Elemente dieser Menge n und m. Dann heißt zum Beispiel "immer" [mm] \forall{}z\in{}Z [/mm] und "niemand" [mm] \neg{}\exists{}m\in{}M. [/mm] Dann brauchst du noch die Relation "m braucht n", die du zum Beispiel mit [mm] m\sim{}n [/mm] schreiben kannst. Näheres dazu hat ja schachuzipus bereits ausgeführt.
> Mein allerster Gedanke war, über alle wörter + oder - zu
> schreiben. Und habe diese lediglich mit einem [mm]\wedge[/mm]
> verbunden. Bitte verzeiht meine unwissendheit, aber ich bin
> langsam am verzweifeln q.q
Versuche es einfach jetzt noch einmal und sonst frag einfach weiter 
> Danke Slyke
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 So 21.10.2012 | | Autor: | Slyke |
Ich glaub ich verstehe endlich langsam worum es geht :)
Also für die a) [mm] \neg \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M : [mm] \neg [/mm] z [mm] \in [/mm] Z : [mm] \neg \exists [/mm] n [mm] \in [/mm] M
Bin ich richtig mit dieser Zeile? Das mit dem m~n ist noch net ganz klar, damit kann ich den obigen Term abkürzen?
Danke nochmals^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 So 21.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
a) Niemand braucht niemals niemanden.
> Ich glaub ich verstehe endlich langsam worum es geht :)
>
> Also für die a) [mm]\neg \forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M : [mm]\neg[/mm] z [mm]\in[/mm] Z : [mm]\neg \exists[/mm]
> n [mm]\in[/mm] M
>
> Bin ich richtig mit dieser Zeile? Das mit dem m~n ist noch
> net ganz klar, damit kann ich den obigen Term abkürzen?
>
> Danke nochmals^^
Hallo noch einmal,
wir können uns ja mal von vorne nach hinten durcharbeiten: Es fängt an mit niemand. Wir können also sagen für niemanden gilt ... . Es gibt also niemanden, für den ... gilt. Es existiert kein [mm] m\in [/mm] M so, dass ... gilt. [mm] \neg\exists{}m\in{}M:... [/mm] . [mm] \forall{}m\in{}M:\neg... [/mm] .
Als nächstes haben wir niemals. das ist ganz ähnlich. Es existiert kein [mm] z\in{}Z [/mm] so, dass ... gilt. [mm] \neg\exists{}z\in{}Z:... [/mm] .
Dann kommt noch einmal niemand, allerdings ein anderer, den wollen wir mit n bezeichnen. [mm] \forall{}n\in{}M:\neg... [/mm] .
Und zuletzt haben wir noch [mm] m\sim{}n [/mm] . Richtig - ich verwende das als Abkürzung für "m braucht n".
Basteln wir das einmal hintereinander. Dann haben wir: [mm] \forall{}m\in{}M:\neg(\neg\exists{}z\in{}Z:(\forall{}n\in{}M:\neg(m\sim{}n))) [/mm] Das doppelte [mm] \neg [/mm] hebt sich noch weg, dann bleibt [mm] \forall{}m\in{}M:(\exists{}z\in{}Z:(\forall{}n\in{}M:\neg(m\sim{}n))) [/mm] Oder auf Deutsch: Jeder Mensch braucht zu mindestens einem Zeitpunkt jeden anderen Mensch nicht. Mit einigem Nachdenken wirst du sehen - dass dies Gleichbedeutend zu a) ist. Dies ist die obige - und damit wegen der vielen Verneinungen zugleich die schwierigste - Aussage mit den Symbolen der Logik ausgedrückt.
Wenn du die zu untersuchende Anfangsaussage inzwische richtig übersetzt und negiert hast, wirst du sehen leicht sehen, ob sie mit dieser hier übereinstimmt, oder nicht.
Ich kann dir jedenfalls versprechen, dass die restlichen Fälle leichter zu durchdringen sind.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 So 21.10.2012 | | Autor: | Slyke |
Noch eine letzte Frage für heute^^
Wir haben gelernt gehabt wenn man [mm] \neg \forall [/mm] macht dann wird des zu [mm] \exists [/mm] und [mm] \neg \in [/mm] heißt keine dann. Oder ist die Schreibweise hier einfach nur etwas anders?
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Noch eine letzte Frage für heute^^
>
> Wir haben gelernt gehabt wenn man [mm]\neg \forall[/mm] macht dann
> wird des zu [mm]\exists[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und [mm]\neg \in[/mm] heißt keine dann.
Das [mm]\neg\in[/mm] ist eine komische Schreibweise ...
Alle (Elemente aus einer Menge M) haben die Eigenschaft [mm]E[/mm] drückt man aus durch
[mm]\forall x\in M: E(x)[/mm]
Die Veneinung "Kein Element aus M hat die Eigenschaft" dann formal:[mm]\neg(\forall x\in M:E(x)) \ \equiv \ \exists x\in M:\neg E(x)[/mm]
Verbal: "es gibt ein Element, das die Eigenschaft nicht hat"
Hier hatten wir als Eigenschaft eine zweistellige Relation: [mm]x B y[/mm]
x braucht y bzw. [mm](x,y)\in B[/mm]
Das würde so negiert: [mm]\neg ((x,y)\in B) \ \gdw \ (x,y)\not\in B[/mm]
Das mit dem [mm]\neg\in[/mm] sieht komisch aus, vllt. meintest du das, was ich geschrieben habe?
> Oder
> ist die Schreibweise hier einfach nur etwas anders?
>
> Danke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Mo 22.10.2012 | | Autor: | Slyke |
Hallo,
danke für die Antwort, ja ich meinte genau das kein Element was du geschrieben hast. Leider konnte ich diese nicht mehr rechtzeitig verbessern, aber ich denke die Grundidee ist ja richtig
Liebe Grüße
|
|
|
|
