Aussagen über Funktionen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:56 So 25.03.2012 | | Autor: | Trasher |
| Aufgabe | 6. Aufgabe 8 Punkte
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind (ohne Begründung).
Antworten Sie nicht auf diesem Klausurblatt. Jede richtige Antwort gibt einen Punkt,
jede falsche einen Punkt Abzug. Minimale Punktzahl ist 0.
Die Funktionen f : [a, b] -> [a, b] und g : [a, b] -> [a, b] seien differenzierbar für
x Element [a, b], und es sei f(a) > 0, f(b) < 0, g(a) > 0, g(b) > 0 und g'(x) > 0 für
alle x Element [a, b].
Dann gilt:
a) f und g sind stetig auf [a, b].
b) f besitzt mindestens eine Nullstelle in ]a, b[.
c) g besitzt genau eine Nullstelle in ]a, b[.
d) Ist f injektiv, so ist auch g o f injektiv.
e) Ist g o f injektiv, so ist auch f injektiv.
f) Es existiert ein [mm] x_0 [/mm] Element [a, b], so dass g an der Stelle [mm] x_0 [/mm] eine waagerechte
Tangente hat.
g) Es ist g(b) > g(a).
h) Es ist 0 Element [a, b]. |
Hier eine Aufwärmaufgabe aus der Klausur Ana1 für Ings vom WS04/05 (Verständnisteil). Alles soweit richtig gelöst, aber bei Teil h muss ich stutzen: Wieso sollte 0 in [a,b] liegen?
Über eine kurze Aufklärung wäre ich dankbar.
Grüße,
Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 25.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Trasher,
> h) Es ist 0 Element [a, b].
> Hier eine Aufwärmaufgabe aus der Klausur Ana1 für Ings
> vom WS04/05 (Verständnisteil). Alles soweit richtig
> gelöst, aber bei Teil h muss ich stutzen: Wieso sollte 0
> in [a,b] liegen?
Da $f$ differenzierbar ist, ist $f$ stetig.
Wegen $f(a)>0$ und $f(b)<0$ besitzt somit $f$ nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle [mm] $x_0$.
[/mm]
Da [mm] $f\colon[a,b]\to[a,b]$, [/mm] gilt somit [mm] 0=f(x_0)\in[a,b].
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 25.03.2012 | | Autor: | Trasher |
> Da [mm]f\colon[a,b]\to[a,b][/mm], gilt somit [mm]0=f(x_0)\in[a,b].[/mm]
Hi Tobias,
danke für die schnelle Antwort - hat geholfen.
Grüße
Robert
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