Aussagen über Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 17.05.2005 | | Autor: | zachi |
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Zeige: Für eine Matrix A [mm] \in M_{n} (\IC) [/mm] sind äquivalent:
(i) Alle Eigenräume von A sind eindimensional.
(ii) Das Minimalpolynom von A hat den Grad n.
(iii) Es gibt v [mm] \in \IC^{n}, [/mm] so dass v, Av, ..., [mm] A^{n-1}v [/mm] eine Basis von
[mm] \IC^{n} [/mm] ist.
(iv) In [mm] \IC^{n} [/mm] gibt es nur endlich viele A-invariante Teilräume.
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Salut!
Du scheinst ein Faible für herzliche Begrüßungen zu haben...
Also, zunächst:
Ich halte es nicht für ratsam, aktuell zu bearbeitende Übungsaufgaben (worum es sich hierbei handelt) aus deinem Studiensemester hier zu stellen (zum einen ist es nicht Sinn der Sache, dass die anderen Mitglieder des Mathe-Raumes deine Übungen lösen [was dein Übungsleiter in der zugehörigen Übungsstunde nach Abgabe der Aufgaben ohnehin noch tun wird], und zum anderen ist durchaus auch einmal der eine oder andere Dozent hier anzutreffen [-> siehe z. B. Prof. Knauf im vorigen Semester], was ein nicht unbedingt gutes Licht auf dich wirft).
Zur Aufgabe an sich:
Du hast zu zeigen, dass die Aussagen äquivalent sind, d. h. es genügt, wenn es dir gelingt, eine aus der anderen abzuleiten bzw. eine Aussage solange umzuformen, bis die andere entsteht etc.
Und zuminderst von (i) auf (ii) sollte dir dies meines Erachtens durchaus möglich sein:
Denk' doch einmal über die Definition des Minimalpolynoms (u. a. normiertes Polynom kleinsten Grades ungleich Null mit minpoly(A) = 0), den Zusammenhang zum charakteristischen Polynom (char. und min. haben gleiche irreduzible Teiler, gleiche Nullstellen und das minpoly. teilt das char. pol.) sowie dann noch über die Definition der Dimension eines Eigenraumes (Kontext: geometrischen Vielfachheit des Eigenwertes zum aufspannenden Eigenvektor etc.) nach!
Au revoir,
jeu blanc.
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