Aussagen von Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Benz |
| Aufgabe | es sei [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] eine folge in [mm] \IC. [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
1) [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] hat genau einen Häufungspunkt [mm] \Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] ist beschränkt und konvergent.
2) [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt [mm] \Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] ist konvergent
3) [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] ist konvergent [mm] \Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt. |
also zunächst einmal hab ich zwei fragen:
1) in diesen Aufgaben muss ich nur zeigen oder halt beweisen das aus A\ Rightarrow B und C oder? z.B. bei der 1) muss ich zeigen das wenn die Folge genau einen Häufungspunkt besitzt, dann auch beschränkt und konvergent ist oder?
2) Der Satz von Bolzano-Weierstraßsagt ja das jede Beschränkte Folge reller Zahlen einen Häufungspunkt besitzt, gilt das auch für komplexe Folgen oder gibt es da Ausnahmen in bezug auf diese aufgabe?
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Moin Benz,
> es sei [mm](a_{n})_{n}\in\IN[/mm] eine folge in [mm]\IC.[/mm] Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen:
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> 1) [mm](a_{n})_{n}\in\IN[/mm] hat genau einen Häufungspunkt
> [mm]\Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist beschränkt und konvergent.
> 2) [mm](a_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt
> [mm]\Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist konvergent
> 3) [mm](a_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist konvergent
> [mm]\Rightarrow (a_{n})_{n}\in\IN[/mm] ist beschränkt und hat genau einen Häufungspunkt.
> also zunächst einmal hab ich zwei fragen:
>
> 1) in diesen Aufgaben muss ich nur zeigen oder halt
> beweisen das aus A\ Rightarrow B und C oder? z.B. bei der
> 1) muss ich zeigen das wenn die Folge genau einen
> Häufungspunkt besitzt, dann auch beschränkt und
> konvergent ist oder?
Aussage 1 stimmt nicht! Überlege dir ein Gegenbeispiel.
>
> 2) Der Satz von Bolzano-Weierstraßsagt ja das jede
> Beschränkte Folge reller Zahlen einen Häufungspunkt
> besitzt, gilt das auch für komplexe Folgen oder gibt es da
> Ausnahmen in bezug auf diese aufgabe?
Ja, der Satz lässt sich übertragen:
Die Konvergenz einer komplexen Folge [mm] a_n=R_n+I_n*i [/mm] ist äquivalent zur Konvergenz der Folgen [mm] R_n [/mm] (Realteil) und [mm] I_n [/mm] (Imaginärteil) in [mm] \IR. [/mm] Auf diese Folgen kannst du den Satz von Bolzano-Weierstraß in der dir bekannten Form anwenden.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Benz |
was meinst du damit Aussage 1 stimmt nicht! Überlege dir ein Gegenbeispiel.
kannst du es erklären?
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> was meinst du damit Aussage 1 stimmt nicht! Überlege dir ein Gegenbeispiel.
Konstruiere eine Folge, die genau einen Häufungspunkt hat und nicht beschränkt ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Benz |
also warum nicht beschränkt ich muss doch bei allen drei aufgaben zeigen das die beschränkt sein müssen und warum konstruieren dann wären doch diese 3 aufgaben ein und die selbe folge oder?
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> also warum nicht beschränkt ich muss doch bei allen drei
> aufgaben zeigen das die beschränkt sein müssen und warum
> konstruieren dann wären doch diese 3 aufgaben ein und die selbe folge oder?
Erstmal steht in der Aufgabenstellung "Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussagen". Es ist unmöglich eine falsche Aussage zu zeigen.
Deswegen habe ich dir den Tipp gegeben, dass in 1) weder Beschränktheit noch Konvergenz aus der Existenz eines einzelnen Häufungspunktes folgt. Um das zu zeigen, konstruiere ein (einfaches) Gegenbeispiel, d. h. eine Folge, die nur einen Häufungspunkt hat, aber nicht beschränkt ist (und somit insbesondere nicht konvergiert).
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mi 16.11.2011 | | Autor: | Benz |
aso ok jetzt hab ich es verstanden was du meintest, danke wenn ich noch fragen habe melde ich mich nochmal;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
ok die 1) habe ich jetzt mit [mm] a_{n} [/mm] n [mm] \in\IN [/mm] := [mm] \begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm] widerlegt
zu 2) kann ich da [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{n} [/mm] n [mm] \ge\IN [/mm] benutzen?
wenn ja wie sehe die Teilfolge dann aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok die 1) habe ich jetzt mit [mm]a_{n}[/mm] n [mm]\in\IN[/mm] :=
> [mm]\begin{cases} n, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \bruch{1}{n}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}[/mm]
> widerlegt
Passt.
>
> zu 2) kann ich da [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{n}[/mm] n [mm]\ge\IN[/mm]
> benutzen?
Nein. Aussage 2) ist wahr. Also beweise diese Aussage.
FRED
> wenn ja wie sehe die Teilfolge dann aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
zu 1) hab völlig vergessen das es eine [mm] \IC [/mm] Folge sein muss oder kann ich es so stehen lassen?
2) ich weiß das sie wahr ist deswegen hab ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] oder ist das falsch? Und auch hier muss es eine [mm] \IC [/mm] Folge sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> zu 1) hab völlig vergessen das es eine [mm]\IC[/mm] Folge sein muss
> oder kann ich es so stehen lassen?
Ja, kannst Du. Es ist [mm] \IR \subset \IC.
[/mm]
>
> 2) ich weiß das sie wahr ist deswegen hab ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
Das verstehe wer will. Ich tus nicht......
> oder ist das falsch?
Was ? Aussage 2 sollst Du allgemein beweisen.
FRED
> Und auch hier muss es eine [mm]\IC[/mm] Folge
> sein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
wollte nur mit [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ausdrücken das diese folge durch die 0 beschränkt ist und die Teilfolge auch durch 0 also Häufungspunkt, somit ist dann die Folge konvergent oder?
was meinst mit algemeiner?
meinst du sowas?
[mm] a_{n} [/mm] = a
[mm] |a_{n} [/mm] - a| < 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Do 17.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> wollte nur mit [mm]\bruch{1}{n}[/mm] ausdrücken das diese folge
> durch die 0 beschränkt ist und die Teilfolge auch durch 0
> also Häufungspunkt, somit ist dann die Folge konvergent
> oder?
>
> was meinst mit algemeiner?
Das:
SATZ: Ist $ [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] $ ist beschränkt und hat $ [mm] (a_{n})_{n}\in\IN [/mm] $ genau einen Häufungspunkt, so ist [mm] $(a_{n})_{n}\in\IN [/mm] $ ist konvergent .
Beweis: ......
>
> meinst du sowas?
>
> [mm]a_{n}[/mm] = a
>
> [mm]|a_{n}[/mm] - a| < 1
Nein.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
kannst du dann bitte mir einen Anfang zeigen?
Wäre es anders herum das die folge konvergent ist und ich die Beschränktheit zeigen soll dann wäre das noch einfach, aber umgekehrt hab ich keine ahnung wo ich ansetzen muss.
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Hallo Benz,
> kannst du dann bitte mir einen Anfang zeigen?
>
> Wäre es anders herum das die folge konvergent ist und ich
> die Beschränktheit zeigen soll dann wäre das noch
> einfach, aber umgekehrt hab ich keine ahnung wo ich
> ansetzen muss.
Versuch's mal mit einem indirekten Beweis:
Sei [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine beschränkte Folge mit Häufungspunkt [mm]a[/mm]
Ann.: [mm]a[/mm] ist nicht GW der Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
Dann ex. ein [mm]\varepsilon>0[/mm] und eine Teilfolge [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm], so dass
[mm]|a_{n_k}-a|>\varepsilon[/mm]
Bedenke nun, dass auch [mm](a_{n_k})_{k\in\IN}[/mm] beschränkt ist ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Do 17.11.2011 | | Autor: | Benz |
sollte es nicht heißen $ [mm] |a_{n_k}-a|<\varepsilon [/mm] $ anstatt$ [mm] |a_{n_k}-a|>\varepsilon [/mm] $?
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Hallo nochmal,
> sollte es nicht heißen [mm]|a_{n_k}-a|<\varepsilon[/mm] anstatt[mm] |a_{n_k}-a|>\varepsilon [/mm]?
Nein, das ist ja ein Widerspruchsbeweis oder indirekter Beweis.
Du konstruierst aus der gegenteiligen Aussage einen Widerspruch ...
Gruß
schachuzipus
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