Aussagen wahr/falsch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:05 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Begründen Sie Wahrheit oder Irrtum der folgenden Aussagen:
1. Jede Körpererweiterung vom Grad 6 ist normal.
2. Ist $f [mm] \in [/mm] K[X]$ ein separables Polynom mit $Gal(f) = [mm] S_4$, $L/K\:$ [/mm] der Zerfällungskörper von [mm] $f\:$, [/mm] dann gibt es genau 4 Teilkörper Z vom Grad 8 über K.
3. Für ungerades $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist [mm] $X^3+nX^2+n \in \IQ[X]$ [/mm] stets irreduzibel. |
Hallo
vielleicht könnte jemand über meine Lösungen der obigen Aufgabe kurz drüberschauen, insbesondere bei Teil 2 bin ich mir unsicher.
1. Die Aussage ist falsch:
Betrachte die Erweiterung [mm] $\IQ(\wurzel[6]{2})/\IQ$. [/mm] Das Minimalpolynom von [mm] $a:=\wurzel[6]{2}$ [/mm] ist [mm] $X^6-2$, [/mm] da dieses [mm] $a\:$ [/mm] annuliert und nach Eisenstein irreduzibel ist. Es ist aber [mm] $\wurzel[6]{2}e^{i\frac{\pi}{3}}$ [/mm] ebelfalls Nullstelle des Polynoms, die jedoch nicht in [mm] $\IQ(a)$ [/mm] liegt. Also ist die betrachtete Erweiterung vom Grad 6 nicht normal.
2. Die Aussage ist falsch:
Die Erweiterung ist separabel und normal, da es sich um den Zerfällungskörper von f handelt. Damit ist die Erweiterung galoissch und die Zwischenkörper Z vom Grad 8 entsprechen gerade den Untergruppen der Galoisgruppe [mm] $S_4$ [/mm] der Ordnung 8.
Es ist [mm] $ord\:S_4 [/mm] = 24 = [mm] 2^3*3$. [/mm] Die Anzahl der 2-Sylowgruppen (das sind gerade die Gruppen der Ordnung 8) muss als 3 teilen. Damit kann es unmöglich 4 geben, d.h. die Aussage ist falsch.
3. Wir können das Polynom modulo 2 reduzieren und erhalten [mm] $\overline{f} [/mm] = [mm] X^3+X^2+\overline{1} \in \IF_2[X]$
[/mm]
Dieses Polynom hat in [mm] $\IF_2$ [/mm] keine Nullstellen und ist somit irreduzibel, da vom Grad 3. Also ist es auch irreduzibel in [mm] $\IQ[X]$
[/mm]
Stimmt das alles so? Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Begründen Sie Wahrheit oder Irrtum der folgenden
> Aussagen:
> 1. Jede Körpererweiterung vom Grad 6 ist normal.
> 2. Ist [mm]f \in K[X][/mm] ein separables Polynom mit [mm]Gal(f) = S_4[/mm],
> [mm]L/K\:[/mm] der Zerfällungskörper von [mm]f\:[/mm], dann gibt es genau 4
> Teilkörper Z vom Grad 8 über K.
> 3. Für ungerades [mm]n \in \IN[/mm] ist [mm]X^3+nX^2+n \in \IQ[X][/mm]
> stets irreduzibel.
> Hallo
>
> vielleicht könnte jemand über meine Lösungen der obigen
> Aufgabe kurz drüberschauen, insbesondere bei Teil 2 bin
> ich mir unsicher.
>
> 1. Die Aussage ist falsch:
> Betrachte die Erweiterung [mm]\IQ(\wurzel[6]{2})/\IQ[/mm]. Das
> Minimalpolynom von [mm]a:=\wurzel[6]{2}[/mm] ist [mm]X^6-2[/mm], da dieses
> [mm]a\:[/mm] annuliert und nach Eisenstein irreduzibel ist. Es ist
> aber [mm]\wurzel[6]{2}e^{i\frac{\pi}{3}}[/mm] ebelfalls Nullstelle
> des Polynoms, die jedoch nicht in [mm]\IQ(a)[/mm] liegt. Also ist
> die betrachtete Erweiterung vom Grad 6 nicht normal.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. Die Aussage ist falsch:
> Die Erweiterung ist separabel und normal, da es sich um
> den Zerfällungskörper von f handelt. Damit ist die
> Erweiterung galoissch und die Zwischenkörper Z vom Grad 8
> entsprechen gerade den Untergruppen der Galoisgruppe [mm]S_4[/mm]
> der Ordnung 8.
Eben nicht: sie entsprechen den Untergruppen der Ordnung [mm] $\frac{4!}{8} [/mm] = 3$. Die triviale Untergruppe [mm] $\{ id \}$ [/mm] entspricht schliesslich dem Zwischenkoerper $L$ von Grad $4!$ (daran kann man sich das am besten merken, finde ich).
Probier es damit nochmal.
> 3. Wir können das Polynom modulo 2 reduzieren und erhalten
> [mm]\overline{f} = X^3+X^2+\overline{1} \in \IF_2[X][/mm]
> Dieses
> Polynom hat in [mm]\IF_2[/mm] keine Nullstellen und ist somit
> irreduzibel, da vom Grad 3. Also ist es auch irreduzibel in
> [mm]\IQ[X][/mm]
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > 2. Die Aussage ist falsch:
> > Die Erweiterung ist separabel und normal, da es sich um
> > den Zerfällungskörper von f handelt. Damit ist die
> > Erweiterung galoissch und die Zwischenkörper Z vom Grad 8
> > entsprechen gerade den Untergruppen der Galoisgruppe [mm]S_4[/mm]
> > der Ordnung 8.
>
> Eben nicht: sie entsprechen den Untergruppen der Ordnung
> [mm]\frac{4!}{8} = 3[/mm]. Die triviale Untergruppe [mm]\{ id \}[/mm]
> entspricht schliesslich dem Zwischenkoerper [mm]L[/mm] von Grad [mm]4![/mm]
> (daran kann man sich das am besten merken, finde ich).
>
> Probier es damit nochmal.
Ok, die Zwischenkörper vom Grad 8 über K entsprechen also gerade den Untergruppen der [mm] $S_4$ [/mm] der Ordnung 3. Nach den Sylowsätzen teilt die Anzahl der 3-Gruppen [mm] $n_3 \; 2^3=8$, [/mm] da [mm] $24=2^3*3$. [/mm] Es gilt also: [mm] $n_a \in \{1,4,8\}$. [/mm] Da gleichzeitig auch gelten muss: [mm] $n_a \equiv 1\: [/mm] mod [mm] \: [/mm] 3$ gilt [mm] $n_a \in \{1,4\}$. [/mm] In [mm] $S_4$ [/mm] gibt es jedoch z.B die Untergruppen [mm] $\{id, (1 2), (2 1)\}$ [/mm] sowie [mm] $\{id, (1 3), (3 1)\}$, [/mm] also mehr als eine der Ordnung 3. Damit muss die Anzahl der 3-Sylowgruppen 4. Diese entsprechen gerade vier Unterkörpern des Grades 8 über K.
Stimmt es so?
Ich habe leider noch ein bisschen Verständnisschwierigkeiten bzgl. der Entsprechung von Untergruppen der Galoisgruppe und Zwischenkörpern. Du hast geschrieben, dass [mm] \{id\} [/mm] hier gerade dem ganzen Körper L entspricht. Das ist klar, da ja L Fixkörper der Identität ist. Wie kann ich aber anschaulich ansehen, dass der Fixkörper einer Gruppe aus drei Automorphismen Grad 8 über K hat. Das heißt doch, wenn wir L als K-Vektorraum betrachten, dass alle drei Automorphismen acht Elemente der Basis des Vektorraums invariant lassen, oder?
Und stimmt forlgendes: Da die Automorphismen von L durch die [mm] $S_4$ [/mm] beschrieben werden, ist das Bild jedes Automorphismus bereits durch vier Bilder von Basiselementen (natürlich nicht von beliebigen Basiselementen) festgelegt.
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Mi 19.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > 2. Die Aussage ist falsch:
> > > Die Erweiterung ist separabel und normal, da es sich
> um
> > > den Zerfällungskörper von f handelt. Damit ist die
> > > Erweiterung galoissch und die Zwischenkörper Z vom Grad 8
> > > entsprechen gerade den Untergruppen der Galoisgruppe [mm]S_4[/mm]
> > > der Ordnung 8.
> >
> > Eben nicht: sie entsprechen den Untergruppen der Ordnung
> > [mm]\frac{4!}{8} = 3[/mm]. Die triviale Untergruppe [mm]\{ id \}[/mm]
> > entspricht schliesslich dem Zwischenkoerper [mm]L[/mm] von Grad [mm]4![/mm]
> > (daran kann man sich das am besten merken, finde ich).
> >
> > Probier es damit nochmal.
>
> Ok, die Zwischenkörper vom Grad 8 über K entsprechen also
> gerade den Untergruppen der [mm]S_4[/mm] der Ordnung 3. Nach den
> Sylowsätzen teilt die Anzahl der 3-Gruppen [mm]n_3 \; 2^3=8[/mm],
> da [mm]24=2^3*3[/mm]. Es gilt also: [mm]n_a \in \{1,4,8\}[/mm]. Da
Du hast den Teiler 2 von 8 vergessen 
> gleichzeitig auch gelten muss: [mm]n_a \equiv 1\: mod \: 3[/mm] gilt
> [mm]n_a \in \{1,4\}[/mm].
> In [mm]S_4[/mm] gibt es jedoch z.B die Untergruppen
> [mm]\{id, (1 2), (2 1)\}[/mm] sowie [mm]\{id, (1 3), (3 1)\}[/mm], also mehr
Beachte, dass diese Untergruppen Ordnung 2 haben (etwa ist $(1 2) = (2 1)$). Untergruppen der Ordnung 3 werden von einem Dreierzyklus erzeugt.
Du kannst dich schnell kombinatorisch davon ueberzeugen, dass es genau acht Dreierzyklen gibt, die man in Paare [mm] $(\sigma, \sigma^{-1})$ [/mm] aufteilen kann. Jedes solche Paar entspricht genau einer Untergruppe der Ordnung 3.
> Ich habe leider noch ein bisschen
> Verständnisschwierigkeiten bzgl. der Entsprechung von
> Untergruppen der Galoisgruppe und Zwischenkörpern. Du hast
> geschrieben, dass [mm]\{id\}[/mm] hier gerade dem ganzen Körper L
> entspricht. Das ist klar, da ja L Fixkörper der Identität
> ist. Wie kann ich aber anschaulich ansehen, dass der
> Fixkörper einer Gruppe aus drei Automorphismen Grad 8
> über K hat. Das heißt doch, wenn wir L als K-Vektorraum
> betrachten, dass alle drei Automorphismen acht Elemente der
> Basis des Vektorraums invariant lassen, oder?
Es gibt eine Basis, von der acht Elemente festgehalten werden, die restlichen Elemente jedoch nicht.
Das muss nicht bei jeder Basis der Fall sein.
> Und stimmt forlgendes: Da die Automorphismen von L durch
> die [mm]S_4[/mm] beschrieben werden, ist das Bild jedes
> Automorphismus bereits durch vier Bilder von Basiselementen
> (natürlich nicht von beliebigen Basiselementen)
> festgelegt.
Es reicht sogar ein (spezielles) Basiselement: du kannst $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] schreiben fuer ein [mm] $\alpha$, [/mm] und das Bild von [mm] $\alpha$ [/mm] unter [mm] $\sigma \in [/mm] Aut(L/K)$ charakterisiert [mm] $\sigma$ [/mm] bereits vollstaendig. (Und $1, [mm] \alpha, \alpha^2, \dots, \alpha^{23}$ [/mm] ist eine $K$-Basis von $L$.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > In [mm]S_4[/mm] gibt es jedoch z.B die Untergruppen
> > [mm]\{id, (1 2), (2 1)\}[/mm] sowie [mm]\{id, (1 3), (3 1)\}[/mm], also mehr
>
> Beachte, dass diese Untergruppen Ordnung 2 haben (etwa ist
> [mm](1 2) = (2 1)[/mm]). Untergruppen der Ordnung 3 werden von einem
> Dreierzyklus erzeugt.
Oje, Fehler der Sorte peinlich, LA1 lässt grüßen.
Vielen Dank für deine Hilfe Felix.
LG Lippel
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