Ausschöpfungsfunktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:12 Mo 08.05.2006 | | Autor: | martzo |
| Aufgabe | | Für jedes Gebiet [mm]G[/mm] im [mm]\mathbb{C}^n[/mm] (d. h. zusammenhängend und offen) heiße eine nichtkonstante stetige Funktion [mm]f:G \rightarrow \mathbb{R}[/mm] Ausschöpfungsfunktion auf [mm]G[/mm], falls für jedes [mm]c<\sup f[/mm] die Mengen [mm]G_{c}:=f^{-1}((-\infty , c))[/mm] relativ kompakt sind. Nennen Sie Beispiele für Ausschöpfungsfunktionen auf beliebigen [mm]G\ne \mathbb{C}^n[/mm]! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Als Beispiele werden in der Literatur häufig [mm]-\delta_{G}[/mm] und [mm]-\log{\delta_{G}}[/mm] genannt (z. B. Grauert/Fritzsche), wobei [mm]\delta_{G}(z):=dist (z,\partial G)[/mm]. Auch in Beweisen werden diese Standardbeispiele verwendet. Das scheint mir aber fraglich: Für einen Streifen in der komplexen Ebene, z. B. [mm]G:=\{(x,y)\in \mathbb{C}:-1
Vielen Dank im Voraus an die Retter in der Not,
Martzo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Martzo!
> Für jedes Gebiet [mm]G[/mm] im [mm]\mathbb{C}^n[/mm] (d. h. zusammenhängend
> und offen) heiße eine nichtkonstante stetige Funktion [mm]f:G \rightarrow \mathbb{R}[/mm]
> Ausschöpfungsfunktion auf [mm]G[/mm], falls für jedes [mm]c<\sup f[/mm] die
> Mengen [mm]G_{c}:=f^{-1}((-\infty , c))[/mm] relativ kompakt sind.
> Nennen Sie Beispiele für Ausschöpfungsfunktionen auf
> beliebigen [mm]G\ne \mathbb{C}^n[/mm]!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Als Beispiele werden in der Literatur häufig [mm]-\delta_{G}[/mm]
> und [mm]-\log{\delta_{G}}[/mm] genannt (z. B. Grauert/Fritzsche),
> wobei [mm]\delta_{G}(z):=dist (z,\partial G)[/mm]. Auch in Beweisen
> werden diese Standardbeispiele verwendet. Das scheint mir
> aber fraglich: Für einen Streifen in der komplexen Ebene,
> z. B. [mm]G:=\{(x,y)\in \mathbb{C}:-1
> jedes [mm]-1
> unbeschränkt und erst recht nicht relativ kompakt ist. Das
> gleiche für [mm]-\log{\delta_{G}}[/mm].
Da hast du Recht!
> Wo liegt mein Fehler?
Kann es vielleicht sein, dass in der Literatur entweder eine schwaechere Definition benutzt wird, oder das dort die Gebiete beschraenkt sind?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Mo 08.05.2006 | | Autor: | martzo |
Nein, die Definition habe ich so aus der Literatur übernommen und noch einmal gründlich geprüft. Wenn die Gebiete beschränkt wären, wäre der Begriff der Ausschöpfungsfunktion auch uninteressant, denn offenbar wäre jede stetige und nichtkonstante Funktion Ausschöpfungsfunktion. Es scheint schlicht falsch zu sein. Vielen Dank für deine Unterstützung und viele Grüße,
Martzo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Martzo!
> Nein, die Definition habe ich so aus der Literatur
> übernommen und noch einmal gründlich geprüft. Wenn die
> Gebiete beschränkt wären, wäre der Begriff der
> Ausschöpfungsfunktion auch uninteressant, denn offenbar
> wäre jede stetige und nichtkonstante Funktion
> Ausschöpfungsfunktion.
Das stimmt. Wobei man allerdings meistens daran interessiert ist, das der Abschluss der Mengen [mm] $G_c$ [/mm] komplett in $G$ liegt. Und das erfuellen die meisten Funktionen (nach dieser Definition) eben gerade nicht. Die Funktionen [mm] $-\delta_G$ [/mm] und [mm] $-\log \delta_G$ [/mm] tuns jedoch... (zumindest wenn $G$ beschraenkt ist...)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:30 Di 09.05.2006 | | Autor: | martzo |
> Das stimmt. Wobei man allerdings meistens daran
> interessiert ist, das der Abschluss der Mengen [mm]G_c[/mm] komplett
> in [mm]G[/mm] liegt. Und das erfuellen die meisten Funktionen (nach
> dieser Definition) eben gerade nicht. Die Funktionen
> [mm]-\delta_G[/mm] und [mm]-\log \delta_G[/mm] tuns jedoch... (zumindest wenn
> [mm]G[/mm] beschraenkt ist...)
Stimmt. Danke für den Tipp. In der Definition müsste es wahrscheinlich "relativ kompakt in [mm]G[/mm]" heißen.
Grüße,
Martzo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Do 08.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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