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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:03 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Also in den Hausaufgaben ist diesmal wieder eine sehr kryptische Aufgabe mit einem wohl entscheidenden Hinweis, dass es sich um den Ausschöpfungssatz handelt, den es zu beweisen gilt. Weiß jemand zufällig wo ich den Satz bewiesen finde?
Hier wurde er uns so notiert: (Hinweis [mm] $L^1(A, \phi)$ [/mm] ist die Menge der auf A mit dem Maß Phi lebesgue-integrierbaren Funktionen.
Seien [mm] $\phi$ [/mm] ein Maß auf [mm] $\IR^n$, [/mm] $M [mm] \subset \IR^n$ [/mm] eine [mm] $\phi$-meßbare [/mm] Menge, $f: M [mm] \to \IR$ [/mm] und [mm] $(M_n)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Folge [mm] $\phi$-meßbarer [/mm] Teilmengen von [mm] $\IR^n$, [/mm] so dass [mm] $M_n \subset M_{n+1}$ [/mm] und [mm]\phi(M \setminus \bigcup_{n=0}^{\infty}{M_n}) = 0[/mm] gilt. Falls $f [mm] \in L^1(M_n, \phi)$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt und die Folge [mm] \left( \integral_{M_n} {|f| d\phi}\right)_{n \in \IN}[/mm] beschränkt ist, so folgt [mm] $f\in L^1(M, \phi)$ [/mm] und es gilt
[mm] \integral_M fd\phi = \lim_{n \to \infty} \integral_{M_n} fd\phi[/mm].
Ich vermute mal, dass hier der Satz von Beppo Levi zur Anwendung kommt (Satz über die monotone Konvergenz). Was mir aber irgendwie fehlt ist die eindeutige Aussage, dass die [mm] $M_n$ [/mm] immer größer werden und gegen M "konvergieren", bzw. das [mm] $\chi_M_n \le \chi_M_{n+1}$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to \infty} \chi_M_n [/mm] = [mm] \chi_M$.
[/mm]
Das erste könnte man evtl. aus [mm] $M_n \subset M_{n+1}$ [/mm] folgern denke ich. Beim zweiten bin ich mir nicht sicher wie ich die "Konvergenz" aus [mm]\phi(M \setminus \bigcup_{n=0}^{\infty}{M_n}) = 0[/mm] folgern. Wahrscheinlich auch über die charakteristische Funktion irgendwie.
Vielleicht kann mir ja da jemand helfen.
Gruß Micha 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Sa 13.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz gilt:
[mm] $\sup\limits_{n \in \IN} \int \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_{M_n} d\phi [/mm] = [mm] \int \sup\limits_{n \in \IN} \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_{M_n} d\phi [/mm] = [mm] \int \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_{\bigcup_{n=0}^{\infty} M_n} d\phi$.
[/mm]
Da die Folge
[mm] $\left( \int \vert f \vert \cdot \chi_{M_n} d\phi \right)_{n \in \IN}$
[/mm]
aber eine monotone und nach Voraussetzung beschränkte Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist, ist sie in [mm] $\IR$ [/mm] konvergent und es gilt daher:
[mm] $+\infty [/mm] > [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{M_n} \vert [/mm] f [mm] \vert d\phi [/mm] = [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \int \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_{M_n} d\phi [/mm] = [mm] \int \vert [/mm] f [mm] \vert\cdot \chi_{\bigcup_{n=0}^{\infty} M_n} d\phi$.
[/mm]
Da nach Voraussetzung aber auch
[mm] $\vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_{\bigcup_{n=0}^{\infty} M_n} [/mm] = [mm] \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_M$ $\phi$-fast [/mm] sicher
gilt, folgt:
$+ [mm] \infty [/mm] > [mm] \lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{M_n} \vert [/mm] f [mm] \vert d\phi [/mm] = [mm] \int \vert [/mm] f [mm] \vert \cdot \chi_M d\phi [/mm] = [mm] \int\limits_M \vert [/mm] f [mm] \vert d\phi$,
[/mm]
womit die Integrierbarkeit von $f$ bewiesen ist. Wendet man nun die gleiche Rechnung auf $f^+$ und $f^-$ an, beachtet $f=f^+ - f^-$ und setzt alles (unter Beachtung der Linearität der Integrale) zusammen, so folgt auch die zweite Behauptung:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \int\limits_{M_n}f d\phi [/mm] = [mm] \int\limits_M fd\phi$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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