Austauschen der Differentiale < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab eine Frage bezüglich der Differentiale bei der Integration durch substitution.
Wenn ich jetzt zum Beipsiel habe
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{x^2}{(x+4)^2}dx} [/mm] (1)
so würde man ja (x+4) als u definieren dann gilt ja
du= y'* dx (2)
in (1) wird u jetzt einfach eingestzt es folgt :
[mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{(u-4)^2}{(u)^2}du}
[/mm]
aber in 2 wird u abgeleitet also
du= 1*dx
du=dx
Warum wird der substitionierte Term in (2) nochmal abgeleitet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Das:
"aber in 2 wird u abgeleitet "
und das:
"Warum wird der substitionierte Term in (2) nochmal abgeleitet? "
verstehe ich nicht !
Ich machs Dir mal vor:
Du setzt u = x+4, also ist u'(x) = du/dx = 1, somit ist du = dx.
Aus (1) wird dann
$ [mm] \integral_{a+4}^{b+4}{ \bruch{(u-4)^2}{(u)^2}du} [/mm] $.
!! Du hattest vergessen, die Integrationsgrenzen zu substituieren !!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
mit verlaub, aber das hatte ich in meinem Post auch schon raus.
Meine Frage war eigentlich nur, warum man den Term u ableiten muss wenn man dx mit du ausdrücken will wie das im ausdruck (2) gefordert ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit Verlaub:
1. In Deinem Post war das Integral nach der Substitution falsch (Integrationsgrenzen). Ich denke, Du könntest froh sein, dass ich Dich darauf aufmerksam gemacht habe.
2. Wie willst Du bitteschön das Differential dx ohne Differentiation von u durch das Differential du ausdrücken ??
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich glaueb du hast mein problem nicht wirklich verstanden und mann muss die grenzen nicht mitsubstituieren wenn man danach weider zurücksubstituiert nach x.
Was mir unklar ist, ist warum man u mit einem Term des Integrals also des urprünglichen y' substituiert aber dann wenn man dx durch du asudrückt diesen neuen Term durch den du definiert wurde als y ansieht und ihn erst einmal ableitet damit gilt
du= y' * dx
warum muss der als u substituierte Teil des Integrals beim Einsetzten in die Formel du= y' * dx abgeleitet werden? und ja ich wei sdass y' Ableitung bedeutet. Aber die ursprüngliche Integrandenfunktion ist ja schon abgeleitet warum muss man also den Term u nocheinmal ableiten?
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> hallo,
> ich glaueb du hast mein problem nicht wirklich verstanden
Hallo,
wie gut man etwas versteht, hängt natürlich ganz entscheidend damit zusammen, wie die Frage formuliert ist.
Jedenfalls bin auch ich hier nicht frei von Verständnisschwierigkeiten.
> und mann muss die grenzen nicht mitsubstituieren wenn man
> danach weider zurücksubstituiert nach x.
Das ist richtig, allerdings arbeitet man in diesem Fall mit unbestimmten Integralen.
$ [mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{x^2}{(x+4)^2}dx} [/mm] $
=
$ [mm] \integral_{a}^{b}{ \bruch{(u-4)^2}{(u)^2}du} [/mm] $
ist falsch.
> Was mir unklar ist, ist warum man u mit einem Term des
> Integrals also des urprünglichen y' substituiert
Welches y eigentlich?
Beim Substituieren ersetzt man jegliches x durch x(u), hier also wird x durch u-4 ersetzt.
Nun zum Ersetzen des dx:
Du hast x(u) = u-4,
folglich ist x'(u)=dx/du=1 ==> dx=du.
Stellen wir uns ein anderes Integral vor, in welchem wir meinetwegen
x=u²-3u substituieren.
Hier ersetzen wir jedes x durch u²-3u.
Es ist x'(u)=dx/du=2u-3, daher würde man hier dx durch (2u-3)du ersetzen müssen.
Ich hoffe, daß da die Frage war.
> Aber die
> ursprüngliche Integrandenfunktion ist ja schon abgeleitet
> warum muss man also den Term u nocheinmal ableiten?
???
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Beim Substituieren ersetzt man jegliches x durch x(u), hier also wird x durch u-4 ersetzt.
Nun zum Ersetzen des dx:
Du hast x(u) = u-4,
folglich ist x'(u)=dx/du=1 ==> dx=du.
ja meine Frage ist eiegtnlich auch nur weshalb u also x-4 noch einmal abgeleiter werden muss als zu 1 und es nicht schon als abgeleitet übernommen wird, da u ja einen teil der schon abgeleiteten integrandenfunktion wiederspiegelt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
"weshalb u also x-4 noch einmal abgeleiter werden muss "
Wieso "noch einmal" ?
"und es nicht schon als abgeleitet übernommen wird"
Wer soll das verstehen ?
x-4 wird nur einmal abgeleitet !!!!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo
wenn du am Anfang sagst dass die Integrandenfunktion die Ableitung der Stammfunktion ist ok? , und dann danach einen Teilausdruck von ihr substituierst ok? und den dann wiederum noch einmal ableitest dann hast du zwei mal abgeleitet , nicht die komplette Integrandenfunktion aber den substituierten Teil. Meine Frage erstreckt sich eigentlich nur darauf, warum der substituierte Teilausdruck u noch einmal abgeleitet wird um durch diese Ableitung des substituierten Teilausdrucks u danach dx mit du auszudrücken oder noch leichter wenn u = x+5
warum heißt es dann du= (x+5)' dx also du = dx
und nicht du = (x+5) dx
warum wird u in dieser Formel noch einmal abgeleitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:50 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Nochmal:
du= (x+5)' dx also du = dx
kommt von u(x) = x+5, also du/dx = u'(x) = (x+5)' = 1, somit du = dx.
Das:
du = (x+5) dx
ist Unfug, denn dann wäre ja u'(x) = u(x) !!!!!!!
Ein anderes Beispiel :
Wenn Du substituierst u = [mm] \wurzel{x}, [/mm] so ist u'(x) = du/dx = [mm] 1/(2\wurzel{x}),
[/mm]
also dx = [mm] 2\wurzel{x}du [/mm] = 2udu
FRED
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> noch leichter wenn u = x+5
>
> warum heißt es dann du= (x+5)' dx also du = dx
> und nicht du = (x+5) dx
Hallo,
wenn man u=x+5 substituiert, ist x=u-5.
x wird also durch u-5 ersetzt.
Nun stellt sich die Frage: was ist dx?
[mm] dx=\bruch{dx}{du}*du [/mm] =x'(u)*du, hier konkret (u-5)'du=du.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Do 17.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo
ich glaub ich hab jetzt verstanden was ihr meint danke an dieser Stelle.
Mir ist aber aufgefallen dass mri gar nicht 100% klar ist was dx eigentlich ist es heißt immer .
"Verwendet man die Tangente als Näherungskurve in der Umgebung des
Arbeitspunktes A ( = Berührpunkt der Tangente), dann erhält man über das
Differential dy = y dx Näherungswerte für Änderungen, die nur für kleine
dx verwendbar sind, also Aussagen über punktuelle Veränderungen machen"
oder so ähnlich aber sowohl dx als auch dy lieegn ja auf der Tangente der Kurve also quasi der Ableitung.
jetzt gilt ja
dy= y'*dx
wenn jetzt aber dx so klein sein muss, dann ist doch dy auch immer 0 ? egal was ich in die Ableitugn einsetzte Was soll dy denn genau liefern?? Den Funktionswert an dem Punkt in dem die Tangte die Kurve berührt??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Fr 18.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst unterscheiden zwischen dem GW
[mm] \limes_{\Delta x\rightarrow 0}\bruch{\Delta y}{\Delta x}=\bruch{dy}{dx}=y'
[/mm]
und Stücken dy=y'dx die du auf der Tangente gehst!
Auf der Kurve y(x) gehst du nur "infinitesimale" Stücke.
Auf der Tangente:t: y-y(x1)=f'(x1)*x-f'(x1)*x1 im Punkt (x1,y1) kannst du beliebige Stücke gehen. Manche nennen die dann auch nocht dy=y2-y1 dann hast du auf der Tangente: dy=y2-y1=y'(x1)*dx=y'(x2-x1)
Beispiel: du willst [mm] 10,2^2 [/mm] ausrechnen: du kannst 1. [mm] 10^2=100 [/mm] und 2.aus [mm] y=x^2 [/mm] y'=2x y'(10)=20 also ist [mm] 10,2^2\approx 10^2+0,2*20=104
[/mm]
(heute rechnet man sowas mit dem TR aber für nen Überschlag ist es ganz nützlich. natürlich kannst du jetzt auch [mm] 10,2^3 [/mm] oder [mm] 10,2^9 [/mm] noch recht genau abschätzen.
entsprechend kannst du, da du [mm] sin\pi/4 [/mm] und [mm] cos\pi/4 [/mm] kennst auch [mm] sin(\pi/4+\pi/180) [/mm] recht genau ausrechnen! (also sin46°)
Das hat aber mit der urspr. Frage mit dem Integral nix zu tun!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
ja und wofür steht dann du= u'(x) * dx
bei dieser formel das du? Für Stücke auf einer Tangente oder für was?
Aslo im Prinzip kann jemand in worten erklären was die formel aussagt?? udn ob sie nun auf eine Tangente an einer Kurve bezogen ist oder nicht?
Weil da wo ich geguckt hab kam man auf die ursprungsformel dy= x' *dx ja auch über tangenten udn hat dann nur dy durch du ersetzt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Fr 18.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht hilft dir ja das, Ich habs früher mal für ne andere nachfrage geschrieben
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
in der PDF steht
" Die Probleme mit der Substitutionsregel entstehen,
wenn nicht Funktionen mit Namen sondern Funktionen, die durch Formeln de niert sind,
integriert und substituiert werden sollen. Dafur sind Leibniz' Bezeichnungen praktischer,
man mu nur in Kauf nehmen, dass der Unterschied zwischen Funktionen und Variablen
verschwimmt."
du hast vorhind geschrieben man muss differenzieren zwischen dem du/ dx als Grenzwert und nur einen du was den y-Unterschied auf einer Tangente angiebt ..ist das richtig?
wenn ja welches du liegt denn dann bei du= x'* dx vor ?
was meinstd u genau mit ass der Unterschied zwischen Funktionen und Variablen
verschwimmt."
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:24 Fr 18.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier gehen jetzt 2 Dinge durcheinander:
ersten die Schreibweise dy/dx für y' und den Umgang mit diesen "Symbolen"
zweitens Approximation einer fkt durch ihre Ableitung.
was ich dazu geschrieben hatte hat nichts mit dem Integral zu tun, du hattest nach Approximationen gefragt. Also vergiss das in diesem Zusammenhang.
Verwechslung von Fkt und Variablen z. Bsp bei der fkt [mm] y=x^2
[/mm]
im Gegensatz zu y=sin(x) in einem Fall steht da für manche einfach x*x, also ne Anweisung,
u=f(x) du/dx=f'(x) dann kann man als Merkregel schreiben du=f'*dx
ebenso bei x=g(u) dx/du=g'(u) oder dx=g'(u)du
In Wirklichkeit sind das gute Merkregeln, dx, du sind nur Symbole und man wendet einfach die Kettenregel rückwärts an.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Fr 18.07.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
das mit der kettenregel bezieht sich aber auf die komplette integration durch substitution udn jetzt nicht auf die "merkregel" wie du sie genant hast , weil die integrationd urch substitution ist ja die umkehrung der kettenregel.
udn noch ne zweite frage was mich imemr verwirrt ist, dass gilt:
dx= x'(u) du
also quasi die substitution mit der umkehrfunktion .
nur ichhab im gedächnis, dass dx doch immer nach leibniz infinetisimal klein ist oder udn dass ist aj jetzt in dem Fall nicht mehr gegeben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Fr 18.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das hat alles mit infinitesimal klein nix zu tun.
bitte lies Deine posts mit Vorschau, die vielen Tippfehler machen es sonst sehr schwer lesbar.
was ist für dich der Unterschied zwischen :
u=f(x) u'=f'(x) du=f'dx und x=g(u) x'=g'(u) dx=g'(u)du das ist beides dieselbe Schreibweise. wenn das sich auf denselben Ausdruck bezieht ist g die umkehrfkt von f und f die Umkehrfkt von g
primitives Beispiel:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2 dx} [/mm] jetzt [mm] x^2=u(x) [/mm] u'=2x du=2xdx ; [mm] dx=du/2\wurzel{u} [/mm] denn [mm] x=\wurzel{u} [/mm] x=a [mm] u=a^2 [/mm] x=b [mm] u=b^2
[/mm]
damit
[mm] \integral_{a}^{b}{x^2 dx}=\integral_{a^2}^{b^2}{u du/2\wurzel{u}}=\integral_{a^2}^{b^2}{\wurzel{u}/2 du}
[/mm]
Das ist zwar unnötig, aber richtig.
Jetzt [mm] x=\wurzel{u} dx=1/2\wurzel{u} [/mm] du
(in dieser Richtung macht man es in diesem Fall nicht so gern, weil man lieber [mm] x^2 [/mm] als [mm] \wurzel{u} [/mm] ableitet. es ist aber dasselbe!
ob du x-4=u schreibst oder x=u+4 ist völlig egal!
ebenso ob du [mm] u=x^2 [/mm] oder [mm] x=\wurzel{u} [/mm] schreibst!
man nimmt das, was man lieber differenziert.
eingesetzt:
[mm] \integral_{a^2}^{b^2}{(\wurzel{u})^2 *1/2\wurzel{u} du} [/mm] dasselbe Ergebnis.
Dabei musst du das dx und das du nur hinschreiben, um nicht zu vergessen die Ableitung von u(x) dazu zu schreiben.
In Wirklichkeit hast du doch ein Integral über f(x) das du nicht unmittelbar zu integrieren weisst.
wenn du aber f(x) = (df/dg)*dg/dx schreiben kannst findest du die Stammfkt F(g) möglicherweise direkt. Das ist alles.
Lös mal [mm] \integral_{a}^{b}{1/\wurzel{1-x^2} dx} [/mm] mit a) u=sinx b)x=arcsinu
das zweite ist wegen der Ableitung von arcsin die man meistens nicht weiss ungeschickter. aber das Ergebnis ist dasselbe!
Gruss leduart
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