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| Aufgabe | Diese Vektoren [mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
[mm] v_2= \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm]
[mm] v_3= \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] v_4=\vektor{0 \\ 2 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
bilden eine Basis des [mm] \IR^4
[/mm]
Welche dieser Vektoren dieser Basis lassen sich durch den Vektor [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 3 \\ 0} [/mm] ersetzen, ohne die Basiseigenschaften zu verletzen?
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Man löst folgendes : [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1& 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0}*\vektor{w \\ x \\ y \\ z}=\vektor{3 \\ -4 \\ 3 \\ 0}
[/mm]
und erhält: w=-1,x=-1,y=5,z=0
damit ist doch dann Vektor [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] durch den neuen Vektor ersetbar oder=?
Lg Sandra
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Hallo
ich vermute, es sind Schreibfehler unterlaufe. Die Salten der Matrix sollen wohl die Vektoren [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] sein? Dann ist der Weg o.k. ( ich hab nicht nachgerechnet)
Gruß korbinian
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Joo, das sollte so sein;)
Danke schön...
Also zumindest sind diejenigen Vektoren auswechselbar,die - [mm] \lambda_1 [/mm] ungleich 0 - mal in der Linearkombinaton des neuen Vektors eingehen.
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> Also zumindest sind diejenigen Vektoren auswechselbar,die -
> [mm]\lambda_1[/mm] ungleich 0 - mal in der Linearkombinaton des
> neuen Vektors eingehen.
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts.
[mm] v_1,...,v_4 [/mm] bilden also eine Basis, und es ist $ [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 3 \\ 0} [/mm] $ [mm] =-1*v_1+(-1)v_2+5v_3.
[/mm]
Dann ist sind [mm] \vektor{3 \\ -4 \\ 3 \\ 0}, v_2, v_3, v_4 [/mm] linear unabhängig und bilden eine Basis.
Für [mm] v_2, v_3 [/mm] gilt das ebenso.
Gruß v. Angela
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