Auswahl ohne Auswahlaxiom? < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mo 14.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Wenn ich eine nichtleere Menge $M$ habe, dann kann ich doch in ZF (ohne Auswahlaxiom) ein Element [mm] $x\in [/mm] M$ davon auswählen. Wie beweist man das?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 14.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich eine nichtleere Menge [mm]M[/mm] habe, dann kann ich doch
> in ZF (ohne Auswahlaxiom) ein Element [mm]x\in M[/mm] davon
> auswählen. Wie beweist man das?
Das ist die Definition von nicht-leer. In Bezug auf den Wiki-Artikel: da steht ja auch, daß man für endliche Mengen eine Auswahl ohne Auswahlaxiom finden kann.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mo 14.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das ist die Definition von nicht-leer.
Also ich Seh in ZF nirgendwo ein Axiom wo das steht. Wenn es gilt müsste man es aus den Axiomen folgern können.
> Wiki-Artikel: da steht ja auch, daß man für endliche Mengen
> eine Auswahl ohne Auswahlaxiom finden kann.
Das hab ich gelesen, aber da steht kein Beweis.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Mo 14.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> > Das ist die Definition von nicht-leer.
> Also ich Seh in ZF nirgendwo ein Axiom wo das steht.
Und was heißt denn dann nicht-leer? Wenn ich 2 als Potenzmenge der Potenzmenge der leeren Menge definiere - wie folgt denn das aus den Axiomen?
> Wenn
> es gilt müsste man es aus den Axiomen folgern können.
Es gibt bloß eine leere Menge. Wenn man eine Menge M hat, die nicht die leere Menge ist, kann man dann aus der Negation der Eigenschaft der leeren Menge oder aber aus dem Extensionalitätsaxiom ein vorhandes Element folgern.
> > Wiki-Artikel: da steht ja auch, daß man für endliche Mengen
> > eine Auswahl ohne Auswahlaxiom finden kann.
> Das hab ich gelesen, aber da steht kein Beweis.
Da muss wer anders ran ...
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Das ist die Definition von nicht-leer.
> Also ich Seh in ZF nirgendwo ein Axiom wo das steht. Wenn
> es gilt müsste man es aus den Axiomen folgern können.
da wird sicherlich das Fundierungsaxiom mit eingehen (Wiki: Axiom 7). Das Problem dabei ist dann aber, dass man zwar die Existenz solcher $B$ gesichert hat, aber dass man keine Ahnung hat, ob man derer abzählbar oder überabzählbar viele oder doch nur endlich viele hat.
> > Wiki-Artikel: da steht ja auch, daß man für endliche Mengen
> > eine Auswahl ohne Auswahlaxiom finden kann.
> Das hab ich gelesen, aber da steht kein Beweis.
Bei endlichen Mengen hat man doch nun wirklich kein Problem. Wenn $M$ endlich und nichtleer ist, existiert ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] (bei mir: $0 [mm] \notin \IN$) [/mm] so dass es eine Surjektion
$f: [mm] \{1,...,n_0\} \to [/mm] M$
gibt.
Dann ist insbesondere $f(1) [mm] \in [/mm] M$, und damit haben wir auch schon ein Element von $M$ ausgewählt.
Und wenn Dir das so nicht gefällt:
Bei nichtleeren endlichen Mengen $M$, also mit $|M| < [mm] \infty$, [/mm] kannst Du (indem Du [mm] $|M|=n_0$ [/mm] oben wählst) damit eine Bijektion von [mm] $\{1,...,n_0\} \to [/mm] M$ angeben (oft wird $|M|$ für nichtleere endliche Mengen ja eben als das kleinstmögliche [mm] $n_0$, [/mm] so dass eine Surjektion $f: [mm] \{1,...,n_0\} \to [/mm] M$ existiert, definiert; und dann zeigt man, dass für dieses dann die Surjektion auch injektiv ist). Und dann kann man sicher induktiv den Beweis über $|M|$ führen.
Zu dem Rest:
Da müßte man andernfalls ggf. mal nach Skripten für ZF (also ohne Auswahlaxiom) googlen. Aber für endliche Mengen sollte es, sofern ich mich nicht täusche, eben über die Definition des Begriffes "Endlichkeit einer Menge" beweisbar sein (oben habe ich halt mit der mir geläufigen Definition gearbeitet).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Mo 14.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> da wird sicherlich das Fundierungsaxiom mit eingehen (Wiki:
> Axiom 7).
Das müsstest du dann schon genauer erklären. Das Fundierungsaxiom hat selbst Zermelo ursprünglich nicht eingeführt, glaube kaum dass er das getan hätte, wenn man unsere Behauptung ohne dieses Axiom nicht hätte beweisen können.
> Das Problem dabei ist dann aber, dass man zwar
> die Existenz solcher [mm]B[/mm] gesichert hat, aber dass man keine
> Ahnung hat, ob man derer abzählbar oder überabzählbar viele
> oder doch nur endlich viele hat.
abzählbar, überabzählbar, endlich... ich glaub die Begriffe sind schon viel zu hoch gegriffen für den Urschleim in dem wir uns hier bewegen. Definier erstmal was ne Bijektion ist mit ZF... Viel Spaß.
> Bei endlichen Mengen hat man doch nun wirklich kein
> Problem. Wenn [mm]M[/mm] endlich und nichtleer ist, existiert ein
> [mm]n_0 \in \IN[/mm] (bei mir: [mm]0 \notin \IN[/mm]) so dass es eine
> Surjektion
>
> [mm]f: \{1,...,n_0\} \to M[/mm]
>
> gibt.
Hier sagst du ja im Grunde "Die Menge der Surjektionen von [mm] $\{1,...,n_0\}$ [/mm] auf $M$ ist nicht leer, also können wir eine auswählen". Damit hast aber unsere Behauptung benutzt.
> Dann ist insbesondere [mm]f(1) \in M[/mm], und damit haben wir auch
> schon ein Element von [mm]M[/mm] ausgewählt.
>
> Und wenn Dir das so nicht gefällt:
> Bei nichtleeren endlichen Mengen [mm]M[/mm], also mit [mm]|M| < \infty[/mm],
> kannst Du (indem Du [mm]|M|=n_0[/mm] oben wählst) damit eine
> Bijektion von [mm]\{1,...,n_0\} \to M[/mm] angeben (oft wird [mm]|M|[/mm] für
> nichtleere endliche Mengen ja eben als das kleinstmögliche
> [mm]n_0[/mm], so dass eine Surjektion [mm]f: \{1,...,n_0\} \to M[/mm]
> existiert, definiert; und dann zeigt man, dass für dieses
> dann die Surjektion auch injektiv ist). Und dann kann man
> sicher induktiv den Beweis über [mm]|M|[/mm] führen.
wie oben... wahrscheinlich nicht "urschleimig" genug ^^
Erstmal muss man sich überlegen was man unter Auswählen versteht. Analog zu der ersten Version des Auswahlaxioms (http://de.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre) definier ich einfach mal, dass wir eine Menge suchen, die genau ein Element enthält, und dieses Element muss in unserer nichtleeren Menge $X$ sein. Also:
z.z.: [mm] $X\ne\emptyset\Rightarrow\exists A:[(B\in A\Rightarrow B\in X)\wedge\forall C\in [/mm] A:C=B]$
Wie oben schon geschrieben wurde, folgt aus dem Leermengenaxiom und dem Extensionalitätsaxiom [mm] $$(\*)\quad\exists A:A\in [/mm] X$$ Nach dem Paarmengenaxiom können wir für jedes C die Menge [mm] $\{C\}$ [/mm] bilden. Daraus folgt dann mit [mm] $(\*)$ [/mm] die Behauptung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ja, wie gesagt, ich bin da einfach mit den mir so gängigen Begriffen umgegangen, und wenn man das so darf, dann ist das kein Problem 
Du hast natürlich Recht, dass man erstmal bei ZF gucken sollte, ob man dort mit diesen Begriffen so umgehen darf bzw. es erst mal rechtfertigen müsste. Ich bin aber der Überzeugung (sicher allerdings nicht, da ich mich zu wenig mit ZF befasst habe), dass man in ZF durchaus meine Argumentation rechtfertigen kann. Das hängt natürlich alles von dem momentanen Wissensstand ab. Wenn Du da "im Urschleim" bist, dann sind meine Argumente in diesem Sinne schon viel zu hoch gegriffen (wobei ich mich auch verhedert haben könnte, so, dass sich z.B. eines meiner Argumente zwar rechtfertigen ließe, aber man dafür das, was Du zeigen sollst, vorher schon anders gezeigt hat und benutzt hat).
Naja, wie gesagt: Urschleim ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Di 15.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Muss den Thread jezz leider nochmal auf "offen" stellen...
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z.z.: [mm] $X\ne\emptyset\Rightarrow\exists A:[(B\in A\Rightarrow B\in X)\wedge\forall C\in [/mm] A:C=B]$
Aus dem Leermengenaxiom und dem Extensionalitätsaxiom folgt die Eindeutigkeit der leeren Menge, und somit nach Voraussetzung [mm] $$(\*)\quad\exists A:A\in [/mm] X$$ (Genaugenommen müsste man noch zeigen, dass es in ZF überhaupt eine nichtleere Menge gibt...) Nach dem Paarmengenaxiom können wir für jedes C die Menge [mm] $\{C\}$ [/mm] bilden. Daraus folgt dann mit [mm] $(\*)$ [/mm] die Behauptung.
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Ist das jetzt korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:15 Di 15.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> z.z.: [mm]X\ne\emptyset\Rightarrow\exists A:[(B\in A\Rightarrow B\in X)\wedge\forall C\in A:C=B][/mm]
Wie kommst du auf diesen Ausdruck? Falls man als A die leere Menge nimmt, ist die rechte Seite für alle Mengen erfüllt. Aber was man haben möchte ist, dass ein A existiert mit [m]A\in X[/m].
> Aus dem Leermengenaxiom und dem Extensionalitätsaxiom folgt
> die Eindeutigkeit der leeren Menge, und somit nach
> Voraussetzung
> [mm](\*)\quad\exists A:A\in X[/mm]
Ja, aber wie du das aus oberen folgerst ... keine Ahnung.
> (Genaugenommen
> müsste man noch zeigen, dass es in ZF überhaupt eine
> nichtleere Menge gibt...)
Das ist trivial - 3 Axiome (!) geben dir welche.
> Nach dem Paarmengenaxiom können
> wir für jedes C die Menge [mm]$\{C\}$[/mm] bilden. Daraus folgt dann
> mit [mm]$(\*)$[/mm] die Behauptung.
Hm? Versteh ich nicht, was du zeigen willst.
> Ist das jetzt korrekt?
Ich weiß ja nicht, wofür du das brauchst. Wenn du alles mit "Urschleim" beweisen willst, musst du doch Herleitungen der Aussagen in der Prädikatenlogik machen, oder nicht? Also ich begnüge mich (wie du auch hier), mit Schlußfolgern aus den Axiomen (bzw. Annahmen) - aber dann hat jede Menge, die nicht die leere Menge ist, nicht die Eigneschaft der leeren Mengen. Und die Negation dieser Eigenschaft ist eben das es ein Element gibt.
SEcki
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http://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom