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| Aufgabe | Eine verkehrsreiche Straße verleitet an einer bestimmten Stelle zum Schnellfahren. Deshalb wurde dort eine versteckte Radarmessanlage installiert, welche die Geschwindigkeit aller vorbeifahrenden Autos misst und registriert. Von allen vorbeifahrenden Autos sei p der Anteil der "Raser", d.h. der Anteil der Autos, die mit deutlich überhöhter Geschwindigkeit fahren. Man weiß, dass p [mm] \sim [/mm] 20 beträgt
1a) Erläutern Sie, unter welchen Annahmen über die Verkehrs- und Messbedingungen man diese Situation als einen mehrstufigen Bernoulli-Versuch auffassen kann.
Gehen Sie bei den folgenden Aufgabenteilen von einem mehrstufigen Bernoulli-Versuch aus.
1b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass bei 10 Messungen
- genau 3 "Raser" ermittelt werden,
- nicht mehr als 4 "Raser" ermittelt werden.
Um die Raserquote zu senken, werden probeweise Wanrschilder Verkehrswacht aufgestellt. An Hand einer Zufallsstichprobe von 100 Autos soll nun getestet werden, ob diese Maßnahmen zu einer signifikanten Senkung der Raserquote geführt haben.
Man benutzt zunächst folgende Entscheidungsregel:
"Falls unter den 100 Gemessenen höchstens 16 ermittelt werden, haben die Wanrschilder zu einer signifikanten Senkung der Raserquote geführt."
c) Berechnen und interpretieren Sie die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1. Art!
Wie muss die Entscheidungsregel geändert werden, wenn der Fehler 1. Art höchstens 5% betragen soll? (Begründen Sie Ihre Angaben)
Gehen Sie nun von der folgenden Entscheidungsregel aus:
(*) "Falls unter den 100 Gemessenen höchstens 13 Raser ermittelt werden, haben die Warnschilder zu einer signifikanten Senkung (auf dem 5% Niveau) der Raserquote geführt."
d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Entscheidungsregel (*), falls die Raserquote durch die Maßnahme tatsächlich auf p= [mm] \bruch{1}{6} [/mm] gesenkt wurde! Interpretieren Sie das Ergebnis.
e) Angenommen bei der Stichprobe werden unter 100 Autos 8 "Raser" gemessen.
- Welche Schlussfolgerung würde man dann entsprechend der Entscheidungsregel (*) ziehen?
- Wenn das Testergebnis überzeugend für eine Senkung der Raserquote sprechen sollte, so argumentiert eine Bürgerinitiative, so sollten auf vielen weiteren Straßenabschnitten die Schilder aufgestellt werden.
Darauf vertreten einige Haushaltspolitiker die Ansicht, dass dies erst zu verträgen wäre, wenn die Raserquote dadurch deutlich auf unter 10% gesenkt würde.
Beurteilen Sie die Stichprobe im Hinblick auf diesen Anspruch! |
Guten Tag,
Grund warum die Aufgabenstellung so ausführlich ist ist der, dass es eine Musteraufgabe für das Zentralabitur (Grundkurs) ist.
Ich bin nun die einzelnen Aufgaben durchgegangen und hab festgestellt, dass ich bei Entscheidungsregel, Fehler 1. Art etc. hängen geblieben bin. Das liegt wahrscheinlich daran, dass ich das Thema Hypothesentest im Unterricht sehr wenig behandelt habe.
a)
Hier handelt es sich um eine Bernoulli-Kette (Wiederholungen) mit den zwei Ereignissen: "Raser" oder "Kein Raser";
Der mehrstufige Bernoulli-Versuch wird n mal durchgeführt und die Wahrscheinlichkeit p beträgt 0,2 (Gegenereignis 0,8)
Zufallsgröße X: Die Anzahl der Autos, die als "Raser" bezeichnet werden
Wollte fragen ob ich jetzt dazu alles erwähnt hab, was relevant ist oder fehlte etwas?
b)
P(X=3)= 0.201326592
P(X [mm] \le [/mm] 4)= 0.9672
Bei P(X [mm] \le [/mm] 4) habe ich die kumulierte Verteilung verwendet.
c)
Der Fehler 1. Art wäre in der Aufgabe:
Die Hypothese, dass Warnschilder zu einer Senkung geführt haben, wird verworfen, stimmt aber in Wirklichkeit.
n=100
k=16
p=0.2
P(X [mm] \le [/mm] 16)= 9.19233
[Hab ich hier was wichtiges vergessen, dass man erwähnen muss?]
Bei den nächsten Fragen bin ich nun etwas unsicher wie ich vorgehen soll, würde mich freuen wenn ich evtl. Tipps oder Lösungen erhalte damit ich den Lösungsweg verstehen kann.
Liebe Grüße
expositiv
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 15.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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