Automorphismen, Kleinsche V. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Do 05.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Automorphismen der kleinschen Vierergruppe. |
[mm] V:=\IZ_2 \times \IZ_2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}
[/mm]
V=<(0,1),(1,0)>
da ord((0,1))= ord((1,0))= ord((1,1))=2 kann keines der Elemente alleine die ganze Gruppe erzeugen.
Der Automorphismus ist durch die Bilder der Erzeuger eindeutig bestimmt.
(Seien [mm] \psi, \phi: [/mm] V=<E> [mm] \to [/mm] H Homomorphismen mit [mm] \psi(E)=\phi(E) \Rightarrow \psi [/mm] = [mm] \psi, [/mm] Beweis hab ich mit angeführt)
Ein Homomorphismus bildet das neutrale Element auf das neutrale Element ab:
[mm] \phi((0,1)) \in \{(0,1),(1,0),(1,1)\} \wedge \phi((1,0)) \in \{(0,1),(1,0),(1,1)\}\setminus \{\phi((0,1))\}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 3*2=6 Möglichkeiten von Automorphisemen.
Nun ist die Frage: Handelt es sich tatsächlich um Automorphismen?
Ich kann die sechs Automorphismen niederschreiben, klar ist, dass sie bijektiv sind.
Erste Idee, die leider recht wenig brachte:
[mm] Inn(V)=\{id\} [/mm] (da V abelsch)
[mm] \rightarrow [/mm] |Inn(V)| [mm] \le [/mm] |Aut(V)| [mm] \Rightarrow [/mm] 1 [mm] \le [/mm] |Aut(V)|
Zweite Idee, mit Linearer Algebra zu kommen, indem man sagt dass jede Matrix eine lineare Abbildung definiert.
Ich kann die 6 potenziellen Automorphismen anschreiben als Matrizen über den Körper [mm] \IZ_2:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }= I_2
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1\\ 1 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 &0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1& 0 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Eine lineare Abbildung ist insbesondere ein Homomorphismus.
Ist das richtig? Gibt es auch eine Lösung ohne Hilfe der Linearen Algebra?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:45 Do 05.02.2015 | | Autor: | statler |
Hi!
1) Was ist denn nun der genaue Zusammenhang zwischen den Automorphismen von V4 und deinen Matrizen? Wie kommt GF(2) = Z/2Z ins Spiel?
2) Die Automorphismen selbst bilden ja auch wieder eine Gruppe. Welche denn? Es gibt bis auf Isomorphie nur 2 Gruppen der Ordnung 6.
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 05.02.2015 | | Autor: | sissile |
> Hi!
> 1) Was ist denn nun der genaue Zusammenhang zwischen den
> Automorphismen von V4 und deinen Matrizen? Wie kommt GF(2)
> = Z/2Z ins Spiel?
> 2) Die Automorphismen selbst bilden ja auch wieder eine
> Gruppe. Welche denn? Es gibt bis auf Isomorphie nur 2
> Gruppen der Ordnung 6.
> Gruß aus HH
> Dieter
1)
Ich hab mich bei den Matrizen im Startbeitrag geirrt..(edit: nun geändert)
Es gibt ja maximal 6 Automorphismen, diese potenziellen Automorphismen kann ich in der folgenden Darstellung aufschreiben:
1) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1)} [/mm] (nicht als Matrix betrachten sondern (0,0) wird auf (0,0) abgebildet, (0,1) auf (0,1) von oben nach unten usw.
2) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (0,1) & (1,1) & (1,0)}
[/mm]
3) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (1,0) & (0,1) & (1,1)}
[/mm]
4) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (1,1) & (1,0) & (0,1)}
[/mm]
5) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (1,1) & (0,1) & (1,0)}
[/mm]
6) [mm] \pmat{ (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ (0,0) & (1,0) & (1,1) & (0,1)}
[/mm]
Diese potenzentiellen Automorphismen kann ich als Matrizen darstellen
Z.B bei 4)
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } $\vektor{0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } $\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
$ [mm] \pmat{ 1 & 1\\ 0 & 1 } $\vektor{1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 0}
[/mm]
$ [mm] \pmat{ 1 & 1\\ 0 & 1 } $\vektor{1 \\ 1}=\vektor{2 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
oder bei 2)
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] $$ [mm] \vektor{0 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 1 } [/mm] $$ [mm] \vektor{0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 1 & 1 } [/mm] $$ [mm] \vektor{1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1} [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 0\\ 1 & 1 } [/mm] $$ [mm] \vektor{1 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 0} [/mm] $
2) Wir haben noch nicht alle Gruppen der Ordnung 6 charaktersiert. Spontan fällt mir die [mm] S_3 [/mm] und die zyklische Gruppe [mm] Z_6 [/mm] ein. Aber das dies die einzigen sind dass hab ich mir noch nicht überlegt. Aber warum ist dass denn brauchbar? Ich weiß ja noch nichtmal ob die 6 Bijektionen auch Homomorphismen sind ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Fr 06.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
Dein Gedankengang ist dann anscheinend folgender:
Du realisierst die V4 als 2dimensionalen Vektorraum über GF(2). Dann sind auch die zugehörigen Automorphismengruppen isomorph, und für den VR ist das gerade die Lineare Gruppe, hier dargestellt durch Matrizen. Ob du aus deiner Vorlesung genug weißt, um damit schon fertig zu sein, kann ich nicht beurteilen. Ansonsten mußt du eben alle Isomorphismen nachrechnen oder anderweitig begründen.
Gruß Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:12 Fr 06.02.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
> Hallo!
> Dein Gedankengang ist dann anscheinend folgender:
> Du realisierst die V4 als 2dimensionalen Vektorraum über
> GF(2). Dann sind auch die zugehörigen
> Automorphismengruppen isomorph, und für den VR ist das
> gerade die Lineare Gruppe, hier dargestellt durch Matrizen.
> Ob du aus deiner Vorlesung genug weißt, um damit schon
> fertig zu sein, kann ich nicht beurteilen.
Das Wissen über Matrizen kam nicht aus der Algebra Vorlesung sondern von der Linearen Algebra. Was ist denn noch unklar bzw was muss ich noch genau begründen?
Ob ich [mm] \IZ_2 \times \IZ_2=\{(a,b)|a,b \in \IZ_2\} [/mm] als Spalt- oder Zeilenvektor darstelle ist doch meistens egal. Für die Multiplikation mit Matrizen brauche ich ihn als Spaltvektor.
Dann hab ich die 6 Bijektionen als Matrizen dargestellt. Als nächstes verwende ich den Satz aus der Linearen Algebra, dass jede Matrix eine lineare Abbildung darstellt. Eine lineare Abbildung ist insbesondere ein Homomorphismus.
Im ersten Schritt im Startbeitrag hab ich beschrieben dass es maximal 6 Automorphismen gibt, durch den obigen Absatz folgt, dass es minimal 6 Automorphismen gibt. Daraus folgt die Behauptung, dass die Autonormphismengruppe aus 6 Elementen besteht.
Was fehlt? DU meinst die genaue Charakterisierung der Automorphismengruppe mit einen Insomorphismus zur [mm] S_3 [/mm] ?
Wenn ich zeige könnte, dass die es nur zwei Gruppen der Ordnung 6 gibt: die [mm] S_3 [/mm] und [mm] \IZ_6 [/mm] gibt bis auf Isomorphie. Dann würde doch reichen zuZeigen ob die Automorphismengruppe zyklisch ist oder nicht.
Da die Ordnung der Automorphismen alle 2 oder 3 ist, kann die Automorphismengruppe nicht zyklisch sein. Muss also isomorph zur [mm] S_3 [/mm] sein.
> Ansonsten mußt
> du eben alle Isomorphismen nachrechnen oder anderweitig
> begründen.
Genau deshalb hab ich hier gefragt ob man auch andere Ideen/Tipps hätte für eine Lösung. Mir ist nur meine im Startbeitrag geschriebene Idee gekommen und wie gesagt bin ich mir da auch nicht 100% sicher ob ich das so machen darf und ob noch etwas in meiner Erklärung/Ausführung fehlt.
Liebe Grüße,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:17 Sa 07.02.2015 | | Autor: | statler |
Hallo!
Wenn du deinen Gedankengang in voller Schönheit durchziehen willst, müßtest du doch 3 Schritte machen:
1. Die additive Gruppe des von dir betrachteten Vektorraums ist isomorph zur Kleinschen V4. Das ist wohl noch klar, also trivial, weil es 4 Elemente, aber kein erzeugendes Element gibt.
2. Jeder Gruppenautomorphismus ist auch ein Vektorraum-Automorphismus. Das ist nahezu trivial, weil es nur die beiden Skalare 0 und 1 gibt.
3. Die VR-Automorphismen zählen, entweder über eine Basis oder über die Matrizen mit det [mm] \not= [/mm] 0. Letzteres hast du gemacht, wobei du stillschweigend voraussetzt, daß je 2 der 3 von (0, 0) verschiedenen Vektoren linear unabhängig sind und deswegen eine Basis bilden.
Ob das so der kürzeste Weg ist, will ich mal offenlassen.
Gruß aus HH
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 08.02.2015 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
>
> 2)
> Für was brauche ich diese Richtung im Bsp?
> Ich brauche doch nur die Richtung dass jeder
> Vektorraum-Automorphismus ein Gruppenautomorphismus ist.
Du brauchst die andere Richtung, weil du mit den Matrizen die VR-Automorphismen zählst. Wenn du z. B. den eindimensionalen VR über dem Körper GF(4) mit 4 Elementen nimmst, dann ist die additive Gruppe dieses VRs wieder die Kleinsche Vierergruppe V4. Es gibt aber hier nur 3 VR-Automorphismen, weil es nur 3 invertierbare 1x1-Matrizen gibt. Es kann also durchaus mehr Gruppenautom. geben als VR-Autom. Sonst wäre die Bedingung [mm] $\varphi(\lambda\cdot [/mm] x)$ = [mm] $\lambda \cdot \varphi(x)$ [/mm] auch überflüssig.
LG Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 08.02.2015 | | Autor: | sissile |
> Auch hallo!
> >
> > 2)
> > Für was brauche ich diese Richtung im Bsp?
> > Ich brauche doch nur die Richtung dass jeder
> > Vektorraum-Automorphismus ein Gruppenautomorphismus ist.
> Du brauchst die andere Richtung, weil du mit den Matrizen
> die VR-Automorphismen zählst. Wenn du z. B. den
> eindimensionalen VR über dem Körper GF(4) mit 4 Elementen
> nimmst, dann ist die additive Gruppe dieses VRs wieder die
> Kleinsche Vierergruppe V4. Es gibt aber hier nur 3
> VR-Automorphismen, weil es nur 3 invertierbare 1x1-Matrizen
> gibt. Es kann also durchaus mehr Gruppenautom. geben als
> VR-Autom. Sonst wäre die Bedingung [mm]\varphi(\lambda\cdot x)[/mm]
> = [mm]\lambda \cdot \varphi(x)[/mm] auch überflüssig.
>
> LG Dieter
Hallo nochmal,
Achso, ich hätte trotzdem noch eine Frage.
Ich verstehe nämlich den einen Satz nicht:
> ..dann ist die additive Gruppe dieses VRs wieder die Kleinsche Vierergruppe V4
Du meinst doch die additive Gruppe [mm] (\IZ_4, [/mm] +) mit der Verknüpfung [mm] \overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}. [/mm] Die Gruppe ist aber zyklisch, wie soll, dass die Kleinsche Vierergruppe sein?
LG,
sissi
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Der Körper mit 4 Elementen ist nicht [mm] $\IZ/4$, [/mm] weder als Ring noch als additive Gruppe, sondern [mm] $\IZ/2\times\IZ/2$ [/mm] (Körper haben immer Primzahlcharakteristik). Daher ist auch der eindimensionale [mm] $\IF_4$-Vektorraum [/mm] als additive Gruppe zur $ [mm] V_4$ [/mm] isomorph.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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