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| Aufgabe | Sei f ein Automorphismus von [mm] S_{n} [/mm] der eingeschränkt auf [mm] A_{n} [/mm] die Identität, d.h. [mm] f(\sigma) [/mm] = [mm] \sigma [/mm] für alle [mm] \sigma \in A_{n}.
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass es ein s [mm] \in A_{n} [/mm] gibt, so dass [mm] f(\tau) [/mm] = s [mm] \tau [/mm] = [mm] \tau s^{-1} [/mm] für alle [mm] \tau \in S_{n} [/mm] \ [mm] A_{n} [/mm] gilt.
(Hinweis: Sei t der Zykel (1 2). Dann gilt [mm] \tau [/mm] = [mm] t^{2} \tau [/mm] = [mm] \tau t^{2}. [/mm]
Berechne nun [mm] f(\tau) [/mm] mit diesen beiden Gleichungen.)
ii) Zeige, dass f( [mm] \sigma) [/mm] = s f( [mm] \sigma) s^{-1} [/mm] für alle [mm] \sigma \in A_{n} [/mm] gilt.
(Hinweis: Zeige zuerst, dass für jedes [mm] \sigma \in A_{n} [/mm] Permutationen [mm] \tau, \tau' \in S_{n} [/mm] \ [mm] A_{n} [/mm] existieren, so dass [mm] \sigma [/mm] = [mm] \tau \tau' [/mm] gilt.)
(iii) Sei nun n [mm] \ge [/mm] 4. Folgere aus (i) und (ii), dass s = id gilt, und daher f die Identität ist.
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Hallo,
ich hab ein paar Probleme bei dieser Aufgabe. Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Bei der (i) hab ich so angefangen:
[mm] \tau [/mm] = (1 2). Dann ist die Gleichung [mm] \tau [/mm] = [mm] t^{2} \tau [/mm] = [mm] \tau t^{2} [/mm] gegeben. Ist dann [mm] t^{2} [/mm] = (12) (12) = id?
Dann habe ich das f auf die Gleichung angewendet: [mm] f(\tau) [/mm] = [mm] f(t^{2} \tau) [/mm] = [mm] f(\tau t^{2}) [/mm] = [mm] f(t^{2}) f(\tau)
[/mm]
Jetzt komm ich nicht mehr weiter, wie muss ich weiter machen, um auf die Behauptung zu kommen? Das [mm] f(t^{2}) [/mm] ist ja auch die Identität oder, und dann würde da [mm] f(\tau) [/mm] = [mm] f(\tau) [/mm] übrig bleiben, was nicht viel weiter hilft
Bei der (ii) soll man erst den Hinweis zeigen. [mm] A_{n} [/mm] ist ja die Menge der geraden Permutationen. [mm] \tau [/mm] und [mm] \tau' [/mm] müssen entweder beide auch gerade Permutationen oder beide ungerade sein oder? Wie kann ich das allgemein zeigen und dann auf das eigentliche f( [mm] \sigma) [/mm] = s f( [mm] \sigma) s^{-1} [/mm] für alle [mm] \sigma \in A_{n} [/mm] kommen?
Danke schonmal für die Hilfe.
Milka
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 So 03.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna!
> Sei f ein Automorphismus von [mm]S_{n}[/mm] der eingeschränkt auf
> [mm]A_{n}[/mm] die Identität, d.h. [mm]f(\sigma)[/mm] = [mm]\sigma[/mm] für alle
> [mm]\sigma \in A_{n}.[/mm]
> (i) Zeigen Sie, dass es ein s [mm]\in A_{n}[/mm]
> gibt, so dass [mm]f(\tau)[/mm] = s [mm]\tau[/mm] = [mm]\tau s^{-1}[/mm] für alle [mm]\tau \in S_{n}[/mm]
> \ [mm]A_{n}[/mm] gilt.
> (Hinweis: Sei t der Zykel (1 2). Dann gilt [mm]\tau[/mm] = [mm]t^{2} \tau[/mm]
> = [mm]\tau t^{2}.[/mm]
> Berechne nun [mm]f(\tau)[/mm] mit diesen beiden Gleichungen.)
>
> ii) Zeige, dass f( [mm]\sigma)[/mm] = s f( [mm]\sigma) s^{-1}[/mm] für alle
> [mm]\sigma \in A_{n}[/mm] gilt.
> (Hinweis: Zeige zuerst, dass für jedes [mm]\sigma \in A_{n}[/mm]
> Permutationen [mm]\tau, \tau' \in S_{n}[/mm] \ [mm]A_{n}[/mm] existieren, so
> dass [mm]\sigma[/mm] = [mm]\tau \tau'[/mm] gilt.)
>
> (iii) Sei nun n [mm]\ge[/mm] 4. Folgere aus (i) und (ii), dass s =
> id gilt, und daher f die Identität ist.
>
> Hallo,
> ich hab ein paar Probleme bei dieser Aufgabe. Würde mich
> sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
> Bei der (i) hab ich so angefangen:
> [mm]\tau[/mm] = (1 2). Dann ist die Gleichung [mm]\tau[/mm] = [mm]t^{2} \tau[/mm] =
> [mm]\tau t^{2}[/mm] gegeben. Ist dann [mm]t^{2}[/mm] = (12) (12) = id?
> Dann habe ich das f auf die Gleichung angewendet: [mm]f(\tau)[/mm]
> = [mm]f(t^{2} \tau)[/mm] = [mm]f(\tau t^{2})[/mm] = [mm]f(t^{2}) f(\tau)[/mm]
> Jetzt
> komm ich nicht mehr weiter, wie muss ich weiter machen, um
> auf die Behauptung zu kommen? Das [mm]f(t^{2})[/mm] ist ja auch die
> Identität oder, und dann würde da [mm]f(\tau)[/mm] = [mm]f(\tau)[/mm] übrig
> bleiben, was nicht viel weiter hilft
Schreib doch mal [mm] $\tau [/mm] = [mm] \tau t^2 [/mm] = [mm] (\tau [/mm] t) t$ und wende $f$ da drauf an. Beachte, dass [mm] $\tau [/mm] t [mm] \in A_n$ [/mm] ist (und ebenso $t [mm] \tau \in A_n$).
[/mm]
> Bei der (ii) soll man erst den Hinweis zeigen. [mm]A_{n}[/mm] ist ja
> die Menge der geraden Permutationen. [mm]\tau[/mm] und [mm]\tau'[/mm] müssen
> entweder beide auch gerade Permutationen oder beide
> ungerade sein oder? Wie kann ich das allgemein zeigen und
> dann auf das eigentliche f( [mm]\sigma)[/mm] = s f( [mm]\sigma) s^{-1}[/mm]
> für alle [mm]\sigma \in A_{n}[/mm] kommen?
Schreib doch einfach [mm] $\sigma [/mm] = [mm] (\sigma [/mm] t) t = [mm] \tau \tau'$ [/mm] mit [mm] $\tau [/mm] := [mm] \sigma [/mm] t$ und [mm] $\tau' [/mm] := t$; dann sind [mm] $\tau, \tau' \in S_n \setminus A_n$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo felixf,
danke für deine Antwort. Habe versucht, mit deinen Tipps die (i) und (ii) zu lösen.
Zur (i) : [mm] f(\tau) [/mm] = [mm] f(t^{2} \tau) [/mm] = f(t (t [mm] \tau)) [/mm] = f(t) [mm] t\tau, [/mm] da t [mm] \tau \in A_{n} [/mm] ist. Da [mm] \tau \in S_{n} [/mm] \ [mm] A_{n}, [/mm] also [mm] sign(\tau) [/mm] = -1 ist und sign(t) = -1, da t Transposition. Ist das so richtig? Nun kann ich doch f(t)*t = s definieren oder? f(t) ist das Bild einer Transposition unter einem Automorphismus. Das ergibt wieder eine Transposition oder?
Dann ist f( [mm] \tau) [/mm] = s [mm] \tau
[/mm]
Für f( [mm] \tau t^{2}) [/mm] = analog = [mm] \tau [/mm] * t* f(t) := [mm] \tau*s^{-1}
[/mm]
(ii) Es gilt [mm] t^{2} [/mm] = id, richtig?
Also [mm] \sigma [/mm] = [mm] \sigma [/mm] * t * t = [mm] (\sigma [/mm] t) t
Dann definiere ich mir das [mm] \tau [/mm] und [mm] \tau' [/mm] so wie du es gesagt hast.
Dann wende ich das f auf diese Gleichung:
[mm] f(\sigma) [/mm] = [mm] f(\tau \tau') [/mm] = [mm] f(\tau) f(\tau') [/mm] = s [mm] \tau \tau' s^{-1}.
[/mm]
Es gilt [mm] sign(\tau \tau') [/mm] = 1, also [mm] \tau \tau' \in A_{n}, [/mm] also ist [mm] \tau \tau' [/mm] = [mm] f(\tau \tau') [/mm] = [mm] f(\sigma)
[/mm]
Stimmt das so?
Bei der (iii) soll man zeigen, dass s= id. Das sieht man ja gleich aus dem beiden Gleichungen von (i) und (ii), aber wie kann man das formal zeigen?
Wie folgt nun, dass f die Identität ist?
Vielen Dank schonmal,
lg, Milka
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> Hallo felixf,
> danke für deine Antwort. Habe versucht, mit deinen Tipps
> die (i) und (ii) zu lösen.
> Zur (i) : [mm]f(\tau)[/mm] = [mm]f(t^{2} \tau)[/mm] = f(t (t [mm]\tau))[/mm] = f(t)
> [mm]t\tau,[/mm] da t [mm]\tau \in A_{n}[/mm] ist. Da [mm]\tau \in S_{n}[/mm] \ [mm]A_{n},[/mm]
> also [mm]sign(\tau)[/mm] = -1 ist und sign(t) = -1, da t
> Transposition. Ist das so richtig? Nun kann ich doch f(t)*t
> = s definieren oder?
Klar
> f(t) ist das Bild einer Transposition
> unter einem Automorphismus. Das ergibt wieder eine
> Transposition oder?
nein nicht zwingend denke ich. Aber du weißt, weil f eingeschränkt auf [mm]A_{n}[/mm] die [mm]id_{A_{n}}[/mm] ist, dass [mm]f(t) \in S_n\backslash A_{n}[/mm] ist.
> Dann ist f( [mm]\tau)[/mm] = s [mm]\tau[/mm]
> Für f( [mm]\tau t^{2})[/mm] = analog = [mm]\tau[/mm] * t* f(t) :=
> [mm]\tau*s^{-1}[/mm]
>
> (ii) Es gilt [mm]t^{2}[/mm] = id, richtig?
Ja, Transpositionen sind selbstinvers
> Also [mm]\sigma[/mm] = [mm]\sigma[/mm] * t * t = [mm](\sigma[/mm] t) t
> Dann definiere ich mir das [mm]\tau[/mm] und [mm]\tau'[/mm] so wie du es
> gesagt hast.
> Dann wende ich das f auf diese Gleichung:
> [mm]f(\sigma)[/mm] = [mm]f(\tau \tau')[/mm] = [mm]f(\tau) f(\tau')[/mm] = s [mm]\tau \tau' s^{-1}.[/mm]
>
> Es gilt [mm]sign(\tau \tau')[/mm] = 1, also [mm]\tau \tau' \in A_{n},[/mm]
> also ist [mm]\tau \tau'[/mm] = [mm]f(\tau \tau')[/mm] = [mm]f(\sigma)[/mm]
> Stimmt das so?
Ja kann man so machen.
> Bei der (iii) soll man zeigen, dass s= id. Das sieht man ja
> gleich aus dem beiden Gleichungen von (i) und (ii), aber
> wie kann man das formal zeigen?
> Wie folgt nun, dass f die Identität ist?
> Vielen Dank schonmal,
>
> lg, Milka
Also [mm]Z(A_n)= {id} \forall n \ge 4 [/mm] d.h. es existiert nur ein Element g von [mm]A_n[/mm] mit der Eigenschaft gh = hg [mm]\forall h \in A_n[/mm], nämlich die Identität. Dies ist aber äquivalent dazu, das gilt [mm]ghg^{-1} = h \forall h \in A_n [/mm] also s = id. Damit gilt nach i) aber [mm]f(\tau) = \tau \forall \tau \in S_n\A_n[/mm]. Zusammen mit der Vorraussetzung gilt dann [mm]f(\tau) = \tau \forall \tau \in s_n[/mm]
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