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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
| Aufgabe | | Löse die autonome DGL [mm] $y''(t)=\frac{y'^2(t)+1}{y(t)}$ [/mm] |
Hallo Forum,
ich komme mit der Lösung der obigen DGL nicht weiter. Soweit war meine Idee das Standardverfahren zur Lösung autonomer DGL zu verwenden, also substitution $y'(t)=p(y), y''(t)=p'(y)p(y)$ und dann die Variabeln zu trennen. Leider funktioniert das in diesem Fall nicht und ich komme auf
[mm] $p'=\frac{p^2+1}{yp}$ [/mm]
und von dort nicht mehr weiter.
Weiß jemand was zu tun ist? Vielen Dank für Hilfe schon mal.
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Hallo Snarfu,
> Löse die autonome DGL [mm]y''(t)=\frac{y'^2(t)+1}{y(t)}[/mm]
> Hallo Forum,
>
> ich komme mit der Lösung der obigen DGL nicht weiter.
> Soweit war meine Idee das Standardverfahren zur Lösung
> autonomer DGL zu verwenden, also substitution [mm]y'(t)=p(y), y''(t)=p'(y)p(y)[/mm]
> und dann die Variabeln zu trennen. Leider funktioniert das
> in diesem Fall nicht und ich komme auf
> [mm]p'=\frac{p^2+1}{yp}[/mm]
> und von dort nicht mehr weiter.
>
>
> Weiß jemand was zu tun ist? Vielen Dank für Hilfe schon
> mal.
Wende jetzt das Verfahren der Trennung der Variablen an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Di 05.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
>Wende jetzt das Verfahren der Trennung der Variablen an.
ok: TdV ergibt: [mm] $p=\pm (y^2*exp(2*c_1-1)^\frac{1}{2}$
[/mm]
Rücksubstitution, integrieren und umstellen ergibt:
[mm] $y=\pm\frac{1}{2}*(1+exp(2*c_1*(t+c_2))*(c_1)^{-1}*exp(-c_1*(t+c_2))$
[/mm]
nach mehrfacher umdefinition der integrationskonstanten [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$
[/mm]
Jetzt hoffe ich mal das ich mich nirgendwo verrechnet habe.
Vielen Dank und Grüße
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Hallo Snarfu,
> >Wende jetzt das Verfahren der Trennung der Variablen an.
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> ok: TdV ergibt: [mm]p=\pm (y^2*exp(2*c_1-1)^\frac{1}{2}[/mm]
Ah, das sieht komisch aus, bevor du nach [mm]p[/mm] auflöst, benenne die Konstante [mm]\exp(c_1)[/mm] um!
Du hast ja [mm]\ln(\sqrt{p^2+1})=\ln(|y|)+c_1[/mm]
Damit [mm]\sqrt{p^2+1}=e^{\ln(|y|)+c_1}=e^{\ln(|y|)}\cdot{}e^{c_1}=c_2\cdot{}|y|=C\cdot{}y[/mm]
Also [mm]p=\pm\sqrt{\hat cy^2-1}[/mm], wobei [mm]\hat c=C^2[/mm] ist ...
>
> Rücksubstitution, integrieren und umstellen ergibt:
>
> [mm]y=\pm\frac{1}{2}*(1+exp(2*c_1*(t+c_2))*(c_1)^{-1}*exp(-c_1*(t+c_2))[/mm]
Das musst du wohl nochmal rechnen, da ist durch diese komische Wahl der Konstanten wohl etwas schiefgelaufen.
Maple spuck etwas ziemlich anderes aus ...
>
> nach mehrfacher umdefinition der integrationskonstanten [mm]c_1[/mm]
> und [mm]c_2[/mm]
>
> Jetzt hoffe ich mal das ich mich nirgendwo verrechnet
> habe.
Wie sollen wir das genau sagen, wenn du uns deine Rechnung vorenthältst?
Wir können dir ja schlecht über die Schulter auf dein Schmierblatt schauen ...
Ich habe jedenfalls keine gesteigerte Lust, die ganze Rücksubstitution usw. selber zu berechnen.
Poste deine Rechnung und wir können uns die anschauen, aber uns das (nochmal) rechnen zu lassen, kann ja wohl kaum Sinn der Sache sein und ist völlig unnütze Zeitverschwendung ...
Also lass uns teilhaben an deinen Rechnungen 
>
> Vielen Dank und Grüße
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Di 05.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
Danke für die Antwort, es war gestern, wie man an der Zeit des posts sieht, schon ziemlich spät und ich hatte keine Zeit mehr alles abzutippen, entschuldigung dafür bitte.
Also:
$ p=\pm\sqrt{\hat cy^2-1} $
Das ist im Prinzip was ich auch habe nur eben mit einer anderen Konstante und eine Klammer fehlte außerdem noch :(. Von hier nun weiter mit deiner Konstante:
Rücksubsitution: $\frac{dy}{dt}=\pm\sqrt{\hat cy^2-1}
$\pm\int{\frac{1}{\sqrt{\hat cy^2-1}}dy}=\int{dt}$
$\pm \ln(\sqrt{\hat c}y+\sqrt{y^2 \hat c-1})\frac{1}{\sqrt{\hat c}}=t+\tilde c$
$\sqrt{\hat c}y+\sqrt{y^2 \hat c-1}=\pm e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}$
$\sqrt{y^2 \hat c-1}=\pm e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}-\sqrt{\hat c}y$
$y^2 \hat c-1=(e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}})^2 \pm 2\sqrt{\hat c}e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}y+\hat c y^2$
c = \sqrt{\hat c}
$y=\frac{-1-e^{2c(t+\tilde c)}}{\pm 2ce^{c(t+\tilde c)}$
Also: $y=\pm\frac{1}{2}(1+e^{2c(t+\tilde c)})c^{-1}e^{-c(t+\tilde c)}
Vielen Dank fürs drübergucken, was kommt den bei Maple raus?
Grüße!
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Hallo Snarfu,
> Hallo,
> Danke für die Antwort, es war gestern, wie man an der Zeit
> des posts sieht, schon ziemlich spät und ich hatte keine
> Zeit mehr alles abzutippen, entschuldigung dafür bitte.
>
> Also:
> [mm]p=\pm\sqrt{\hat cy^2-1}[/mm]
> Das ist im Prinzip was ich auch
> habe nur eben mit einer anderen Konstante und eine Klammer
> fehlte außerdem noch :(. Von hier nun weiter mit deiner
> Konstante:
>
> Rücksubsitution: [mm]$\frac{dy}{dt}=\pm\sqrt{\hat cy^2-1}[/mm]
>
> [mm]\pm\int{\frac{1}{\sqrt{\hat cy^2-1}}dy}=\int{dt}[/mm]
> [mm]\pm \ln(\sqrt{\hat c}y+\sqrt{y^2 \hat c-1})\frac{1}{\sqrt{\hat c}}=t+\tilde c[/mm]
>
> [mm]\sqrt{\hat c}y+\sqrt{y^2 \hat c-1}=\pm e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}[/mm]
>
> [mm]\sqrt{y^2 \hat c-1}=\pm e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}-\sqrt{\hat c}y[/mm]
>
> [mm]y^2 \hat c-1=(e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}})^2 \pm 2\sqrt{\hat c}e^{(t+\tilde c)\sqrt{\hat c}}y+\hat c y^2[/mm]
>
> c = [mm]\sqrt{\hat c}[/mm]
>
> [mm]y=\frac{-1-e^{2c(t+\tilde c)}}{\pm 2ce^{c(t+\tilde c)}[/mm]
>
> Also: [mm]$y=\pm\frac{1}{2}(1+e^{2c(t+\tilde c)})c^{-1}e^{-c(t+\tilde c)}[/mm]
Das stimmt soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst Du aber noch anders schreiben,
wenn Du das ausmultiplizierst.
>
> Vielen Dank fürs drübergucken, was kommt den bei Maple
> raus?
>
> Grüße!
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 Di 05.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
Danke für die Antwort,
ich kann noch
[mm] $y=\pm\frac{1}{2c}(e^{-c(t+\tilde c)}+e^{c(t+\tilde c)}) [/mm] $
draus machen aber viel schöner schaut das auch nicht aus, oder?
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Di 05.07.2011 | | Autor: | MathePower |
Hallo Snarfu,
> Danke für die Antwort,
>
> ich kann noch
>
> [mm]y=\pm\frac{1}{2c}(e^{-c(t+\tilde c)}+e^{c(t+\tilde c)})[/mm]
>
> draus machen aber viel schöner schaut das auch nicht aus,
> oder?
Schöner wird's, wenn Du dies Definition verwendest:
[mm]\cosh\left(u\right)=\bruch{e^{u}+e^{-u}}{2}[/mm]
>
> Grüße
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:13 Di 05.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
Oh, prima, dann sieht
[mm] $y=\pm \frac{1}{c_1}cosh(c_1(t+c_2))$
[/mm]
natürlich schöner aus, vielen Dank nochmal!
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Hallo nochmal,
die Lösung von Maple sieht monströs aus
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 05.07.2011 | | Autor: | Snarfu |
Hu, schaut wirklich nicht hübsch aus aber mit ein wenig zusammenfassen und redefinition von [mm] $c_1$ [/mm] als [mm] $\frac{1}{c_1}$ [/mm] steht da das gleiche.
Das Maple hier nicht von sich aus vereinfacht wundert mich.
Danke nochmal und Gute Nacht.
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