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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Ax=B / Drehmatrix
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Ax=B / Drehmatrix: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:13 Mi 09.03.2005
Autor: Sanne

Hallo,

so, jetzt hoffentlich die letzte Frage vor der Klausur...

Seien
B= [mm] \pmat{ 1 & \wurzel{2} & 2 & 0 \\ 2 & \wurzel{8} & 4 & 0 } [/mm]
[mm] D_\phi= \pmat{ \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi } [/mm] für [mm] \phi \in \IR [/mm]

Berechnen Sie

[mm] B*X=D^4_\phi [/mm]

Ich habe zuerst [mm] D^4_\phi [/mm] berechnet, was [mm] \pmat{ \cos(4\phi) & -\sin(4\phi) \\ \sin(4\phi) & \cos(4\phi) } [/mm]
sein dürfte.

Anschließend das Ausgangsschema für einen GJA aufgestellt und die 1 ausgezeichnet. Als NS bekomme ich nun

1    [mm] \wurzel{2} [/mm]    2    0    |    [mm] \cos(4\phi) [/mm] _             [mm] -\sin(4\phi) [/mm]
0    0     0    0    |    [mm] \sin(4\phi)-2\cos(4\phi) [/mm] _    [mm] \cos(4\phi)+2\sin(4\phi) [/mm]

(Die Unterstriche haben nix zu bedeuten, hab ich  nur als "Trennung" reingemacht, die 1 ist wie gesagt "Kästchenelement")

Jetzt würde ich eigentlich sagen, dass die Gleichung unlösbar ist, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe so einfach ist.

Also habe ich mal versucht herauszufinden, für welches [mm] \phi [/mm] die rechte Seite der zweiten (unteren) Gleichung = 0 wird (bzw. ob es so eines gibt), wäre beim ersten Ausdruck laut Maple [mm] \bruch{1}{16}\pi [/mm] und für den zweiten [mm] (\cos(4\phi)+2\sin(4\phi)) [/mm] _   [mm] -\bruch{1}{4}\arctan(\bruch{1}{2}) [/mm] - also keine gemeinsame Stelle.

Aber wenn es wirklich kein [mm] \phi [/mm] gibt, das den unteren Ausdruck bzw. besser gesagt beide Ausdrücke 0 werden lässt, dann ist das Ding wirklich unlösbar und die Lösungsmenge ist leer?

Oder habe ich irgendwo nen Denkfehler drin?

Danke schonmal,

Gruß,
Sanne
        
Bezug
Ax=B / Drehmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:47 Mi 09.03.2005
Autor: Stefan

Hallo Sanne!

Du liegst völlig richtig!

Man kann das Problem übrigens auch, ohne mit der Wimper zu zucken, mit einem Blick lösen (jedenfalls als geübter Mathematiker ;-)).

Ich zeige dir jetzt mal wie. Schauen wir uns die Gleichung an:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 2 & 0 \\ 2 & \sqrt{8} & 4 & 0 \end{pmatrix} \cdot [/mm] X = [mm] \begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}$. [/mm]

Rechts steht eine Matrix mit Rang 2 (die Determinante einer Drehmatrix ist immer 1 wegen des trigonometrischen Pythagoras). Ganz links steht eine Matrix mit Rang 1 (die zweite Zeile ist das Zweifache der ersten Zeile). Nun kann man aber den Rang durch Multiplikation mit Matrizen nicht erhöhen (sondern bestenfalls beibehalten). Daher kann es keine solche Matrix $X$ geben. [cap]

Die Regel lautet: $Rang(AB) [mm] \le \min\{Rang(A), Rang(B)\}$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Ax=B / Drehmatrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:05 Mi 09.03.2005
Autor: Sanne

Hallo Stefan,

danke für deine Antwort, da muss der Prof ja mal nen guten Tag gehabt haben, das war ne Klausuraufgabe aus der letztjährigen Klausur - hoffentlich war er genausogut drauf, als er unsere gemacht hat ;-)

Lieben Gruß,
Sanne
Bezug
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