Axiom der Analysis < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 So 12.04.2009 | | Autor: | Held |
| Aufgabe | | Zeige die Multiplikation in [mm] \IR [/mm] ist Kommutativ und Assoziativ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo, ich bin Mathestudent und habe mich gefragt, wieso
eigentlich 5*3 = 3+3+3+3+3 immer dasselbe ist wie 5+5+5 = 3*5 also wieso die Multiplikation kommutativ ist.
In meiner damaligen Analysis Veranstaltung, sowie im Buch Analysis von Heuser, oder Behrends oder Amann und Escher ist überall als Axiom vorausgesetzt, das die Multiplikation kommutativ ist.
Ich finde das sehr schade, da es mir überhaupt nicht einleuchtend ist.
Angenommen man nimmt das Axiom der Kommutativität für die Multiplikation weg, so kann man per Induktion zeigen, dass a*b = b*a ist, [mm] \vee [/mm] a,b [mm] \in \IN [/mm] (Mithilfe des Distributivgesetzes und 1*a=a*1 (das gehörte bei uns zu der Definition eines neutralen Elementes)).
Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das für a, b [mm] \in \IQ [/mm] zeigen kann.
Hier ein Beispiel um mein Problem zu verdeutlichen:
Ich weiß 3 * 1/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5, aber was soll 1/5 * 3 sein? Über 1/5 weiß man ja nur, dass gilt 5 * 1/5 = 1.
Meine erste Vermutung war also, das 1/5 * 3 scheinbar so nicht definiert ist und man einfach sagt, 1/5 * 3 := 3*1/5
(Diese Antwort ist ungefähr so unbefriedigend für mich, wie die das die Kommutativität der Multiplikation einfach ein Axiom ist :) ).
Aber diese Argumentation kann nicht stimmen, denn woher weiß man dann z.B. das 3*(1/5)*(1/3) = 1/5 ist? Die standard Argumentation 3*(1/5)*(1/3)=(1/5)*3*(1/3)=1/5 ist ja hier falsch, da 1/5 * 3 nur ein Symbol für 3*(1/5) ist.
Ich hoffe jemand versteht mein Probem.
Ansonsten wünsch ich noch frohe Ostern!
PS: Kann es sein das https://matheraum.de/post fehlerhaft ist,
oder ist die Anzeige nur in meinem Browser so komisch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 12.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
Die Frage ist immer wo du anfangen willst, denn wenn du etwas beweisen willst, dann brauchste dafür ja schon irgendwelche Definitionen, etc.
Wenn du also die Kommutativität der Multiplikation nicht als Axiom willst, sondern beweisen willst, dann haste erstmal zwei Probleme:
1) Aus welchen anderen Aussagen heraus willst du das beweisen?
2) Wie sind dann bei dir die reellen Zahlen überhaupt definiert? Die normale Definition kannste ja dann nicht nehmen, da die ja die Kommutativität beinhaltet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 So 12.04.2009 | | Autor: | Held |
Hallo Merle,
Danke für deine Antwort!
> Wenn du also die Kommutativität der Multiplikation nicht
> als Axiom willst, sondern beweisen willst, dann haste
> erstmal zwei Probleme:
>
> 1) Aus welchen anderen Aussagen heraus willst du das
> beweisen?
>
Aus allen anderen Aussagen, also das es ein neutrales Element gibt, ein Inverses und dass das Distributivgesetzt gilt.
Ich meine das a+b = b+a gelten soll, müssen wir festlegen, denn irgendwo muss man ja anfangen.
Aber 5*3 = 3*5 ist für mich überhaupt nicht klar.
Hier mal mein Beweis wieso ich glaube dass es gilt, wenn man
die Multipliaktion so definiert (so ist sie doch auch ursprünglich entstanden oder?)
Für a,b [mm] \in \IN [/mm] ist
a*b := [mm] \underbrace{b +.... + b}_{a-mal}
[/mm]
b*a := [mm] \underbrace{a +.... + a}_{b-mal}
[/mm]
Sei b [mm] \in \IN [/mm] beliebig.
IA: 1*b = b* 1
IS (n+1)*b = n*b + b =(IV) b*n +b = [mm] \underbrace{n +.... +n}_{b-mal} [/mm] + b
= [mm] \underbrace{n +.... +n}_{b-mal} [/mm] + [mm] \underbrace{1 +.... +1}_{b-mal}
[/mm]
= [mm] \underbrace{(n+1) +.... +(n+1)}_{b-mal} [/mm] = b*(n+1)
Und als man die Axiome aufgestellt hat, muss man irgendwie gewusst haben, es ist egal ob man (1/5) * 3 oder 3*(1/5) rechnet. Es ist aber doch kein Zufall das das klappt - oder?
Zu 2) An welcher stelle brauchte man die Kommutativität bei den Reellen Zahlen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:29 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Held |
:D
Also ich glaube das ich es jetzt auch für [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] gezeigt hab. Stimmen es also, dass das Axiom der Kommutativität der Multiplikation überflüssig ist?
Der Beweis für [mm] \IN [/mm] (und damit auch für [mm] \IZ [/mm] wenn man annimt, dass (-1)*x=x*(-1)) stand oben, jetzt gilt
Sei b [mm] \in \IN
[/mm]
a * 1 = 1 * a
[mm] \Rightarrow
[/mm]
a* (1/b) * b = (1/b) * b * a
[mm] \Rightarrow [/mm] (Kommutativität für [mm] \IN)
[/mm]
a* (1/b) * b = (1/b) * a * b
[mm] \Rightarrow [/mm] (Eigenschaft der Verknüpfung *)
a* (1/b) * b * (1/b) = (1/b) * a * b * (1/b)
[mm] \Rightarrow [/mm] (Eigenschaft des inversen b * (1/b) = (1/b) * b = 1 )
a*(1/b) = (1/b)*a
Jetzt folgt das leicht für alle p,q [mm] \in \IQ
[/mm]
und wenn x, y [mm] \in \IR, [/mm] so existieren [mm] (a_{n}),(b_{n})\subseteq \IQ [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (a_{n}) [/mm] = x,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (b_{n}) [/mm] = y
und da [mm] a_{n} [/mm] * [mm] b_{n} [/mm] = [mm] b_{n} [/mm] * [mm] a_{n} \vee [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] * [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] * [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x*y = y*x [mm] \Box
[/mm]
Man kann also die Kommutativität Beweisen und durch das Axiom (-1)*x=x*(-1) ersetzen, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:37 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Held,
jetzt mal ohne ins Detail zu gehen: Ich glaube nicht, dass Du hier irgendwo etwas bewiesen hast; jedenfalls nicht, ohne andere Sachen zu benutzen, die Du uns vorenthalten hast.
Es gibt verschiedene Wege, den Körper [mm] $\IR$ [/mm] zu konstruieren (oder zu definieren); und um die Kommutativtät der Multiplikation von [mm] $\IR$ [/mm] nachzuweisen, muss man erstmal [mm] $\IR$ [/mm] 'irgendwie konstruiert' haben.
Was sicherlich anfangs ziemlich gleich vonstatten geht:
Meist startet man sicher bei den natürlichen Zahlen [mm] $\IN\,,$ [/mm] definiert dort eine Addition und Multiplikation, also Abbildungen [mm] $\IN \times \IN \to \IN$, [/mm] und zeigt dort gewisse Eigenschaften für diese Abbildungen. Z.B. kannst Du zeigen, dass
$$*: [mm] \IN \times \IN \to \IN$$ [/mm]
dann kommutativ ist (man vereinbart dann zudem, zu schreiben: $n*m:=*(n,m)$ für alle $(n,m) [mm] \in \IN \times \IN$). [/mm] Dann geht man weiter und betrachtet [mm] $\IZ$ [/mm] und eine Addition und Multiplikation, also Abbildungen [mm] $\IZ \times \IZ \to \IZ$ [/mm] (die die Abbildungen bzgl. [mm] $\IN$ [/mm] jeweils 'erweitern') und kann auch hier dann die gewünschten Eigenschaften nachweisen.
Jetzt definiert man [mm] $\IQ\,,$ [/mm] (z.B. über gewisse 'Äquivalenzklassen von Brüchen') und auch hier läßt sich dann mit den vorhergegangenen Überlegungen z.B. die Kommutativität der Multiplikation [mm] $\IQ \times \IQ \to \IQ$ [/mm] nachweisen. Bei [mm] $\IQ$ [/mm] stellt man erstmaligst fest, dass man nun mit der zugehörigen Addition und Multiplikation einen Körper hat, also [mm] $(\IQ,+,*)$ [/mm] ist ein Körper.
Jetzt will man [mm] $\IR$ [/mm] konstruieren. Das kann man dann z.B. über die Dedekindschen Schnitte oder über Cauchyfolgen machen. In beiden Fällen kann man dann 'mithilfe der jeweiligen Konstruktion' nachrechnen, dass die Körperaxiome erfüllt sind und das [mm] $\IR$ [/mm] sogar ein vollständig geordneter Körper ist, der in dem Sinne "einzigartig" ist, als dass jeder andere vollständig geordnete Körper zu 'dem konstruierten Körper [mm] $\IR$' [/mm] ähnlich isomorph ist.
Also:
Die Kommutativität, z.B. hier bzgl. Multiplikation, sollte sich schrittweise so ergeben:
[mm] $\bullet$ [/mm] Kommutativität der Multiplikation $*: [mm] \IN \times \IN \to \IN$ [/mm] wird nachgewiesen (siehe z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier)
[mm] $\bullet$ [/mm] Kommutativität der Multiplikation $*: [mm] \IZ \times \IZ \to \IZ$ [/mm] wird nachgewiesen, wobei diese Multiplikation $*$ hier nun eine Erweiterung der obenstehenden Multiplikation [mm] $\IN \times \IN \to \IN$ [/mm] sei
[mm] $\bullet$ [/mm] analog nun bzgl. [mm] $\IQ$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Wie die Kommutativität bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] nachzuweisen ist, hängt von der Konstruktion des Körpers [mm] $\IR$ [/mm] ab. (Für Cauchyfolgenkonstruktion: Siehe etwa Ausarbeitung Aachen), und z.B. in diesem Skript, Satz 3.18 findest Du die Konstruktion von [mm] $\IR$ [/mm] über die Dedekindschen Schnitte (insbesondere die, formal sicher nicht schönste, Definition der Multiplikation auf [mm] $\IR$, [/mm] für welche man dann mithilfe dieser Definition und den vorangegangenen Überlegungen die Kommutativität dieser Multiplikation nachweisen kann).
P.S.:
Heuser braucht für [mm] $\IR$ [/mm] die Kommutativtät bzgl. der Multiplikation nicht zu beweisen bzw. in dem Buch von Heuser ist das nicht vorgesehen, denn soweit ich mich erinnere, stellt sich Heuser auf den Standpunkt:
Es gibt einen vollständig geordneten Körper (er macht das auch über das Vollständigkeitsaxiom, wenn ich mich recht erinnere), diesen nennen wir [mm] $\IR$ [/mm] und 'anhand unserer Rechenerfahrung sind wir uns sicher, [mm] $\IR$ [/mm] gut genug zu kennen, so dass wir wissen, dass in [mm] $\IR$ [/mm] mit $+$ als übliche Addition und $*$ als übliche Multiplikation dann [mm] $\IR$ [/mm] ein vollständiger Körper ist'.
Auf diesen Standpunkt kann man sich insofern stellen und darauf verlassen, als dass es aus anderen Quellen gesichert ist, dass die von Heuser über [mm] $\IR$ [/mm] getroffenen Aussagen schon bewiesen worden sind. Der Nachteil ist hier natürlich, dass man 'einen nicht unwesentlichen Bestandteil' (Existenz eines vollst. angeordneten Körpers etc.) einfach 'überspringt', andererseits gelangt man so dann etwas schneller zu 'interessanteren Ergebnissen' (gewisse 'Formeln', Grenzwertsätze für Folgen, Reihen etc.).
Wenn ich mich recht erinnere, hat Heuser das auch irgendwo in dem Kapitel, wo er über die Körperaxiome spricht, selbst etwas dazu gesagt, warum er quasi schon [mm] $\IR$ [/mm] 'als von Gott gegeben' annimmt, und nicht nur [mm] $\IN$...
[/mm]
P.P.S.:
Für Dich sicherlich sehr interessant, wenngleich vll. auch etwas mühevoll zu lesen, könnte auch dieser Artikel: Konstruktion der Zahlenmengen sein.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Held |
> Hallo Held,
>
> jetzt mal ohne ins Detail zu gehen: Ich glaube nicht, dass
> Du hier irgendwo etwas bewiesen hast; jedenfalls nicht,
> ohne andere Sachen zu benutzen, die Du uns vorenthalten
> hast.
>
Ganz allein mit den Axiomen hab ich es auch nicht geschafft, ich musste noch (-1)*x=x*(-1) benutzen
> Es gibt verschiedene Wege, den Körper [mm]\IR[/mm] zu konstruieren
> (oder zu definieren); und um die Kommutativtät der
> Multiplikation von [mm]\IR[/mm] nachzuweisen, muss man erstmal [mm]\IR[/mm]
> 'irgendwie konstruiert' haben.
>
> Was sicherlich anfangs ziemlich gleich vonstatten geht:
> Meist startet man sicher bei den natürlichen Zahlen [mm]\IN\,,[/mm]
> definiert dort eine Addition und Multiplikation, also
> Abbildungen [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm], und zeigt dort gewisse
> Eigenschaften für diese Abbildungen. Z.B. kannst Du zeigen,
> dass
> [mm]*: \IN \times \IN \to \IN[/mm]
> dann kommutativ ist (man vereinbart dann zudem, zu
> schreiben: [mm]n*m:=*(n,m)[/mm] für alle [mm](n,m) \in \IN \times \IN[/mm]).
> Dann geht man weiter und betrachtet [mm]\IZ[/mm] und eine Addition
> und Multiplikation, also Abbildungen [mm]\IZ \times \IZ \to \IZ[/mm]
> (die die Abbildungen bzgl. [mm]\IN[/mm] jeweils 'erweitern') und
> kann auch hier dann die gewünschten Eigenschaften
> nachweisen.
>
> Jetzt definiert man [mm]\IQ\,,[/mm] (z.B. über gewisse
> 'Äquivalenzklassen von Brüchen') und auch hier läßt sich
> dann mit den vorhergegangenen Überlegungen z.B. die
> Kommutativität der Multiplikation [mm]\IQ \times \IQ \to \IQ[/mm]
> nachweisen. Bei [mm]\IQ[/mm] stellt man erstmaligst fest, dass man
> nun mit der zugehörigen Addition und Multiplikation einen
> Körper hat, also [mm](\IQ,+,*)[/mm] ist ein Körper.
>
> Jetzt will man [mm]\IR[/mm] konstruieren. Das kann man dann z.B.
> über die Dedekindschen Schnitte oder über Cauchyfolgen
> machen. In beiden Fällen kann man dann 'mithilfe der
> jeweiligen Konstruktion' nachrechnen, dass die Körperaxiome
> erfüllt sind und das [mm]\IR[/mm] sogar ein vollständig geordneter
> Körper ist, der in dem Sinne "einzigartig" ist, als dass
> jeder andere vollständig geordnete Körper zu 'dem
> konstruierten Körper [mm]\IR[/mm]' ähnlich isomorph ist.
>
> Also:
> Die Kommutativität, z.B. hier bzgl. Multiplikation, sollte
> sich schrittweise so ergeben:
>
> [mm]\bullet[/mm] Kommutativität der Multiplikation [mm]*: \IN \times \IN \to \IN[/mm]
> wird nachgewiesen (siehe z.B.
> hier)
>
> [mm]\bullet[/mm] Kommutativität der Multiplikation [mm]*: \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm]
> wird nachgewiesen, wobei diese Multiplikation [mm]*[/mm] hier nun
> eine Erweiterung der obenstehenden Multiplikation [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm]
> sei
>
> [mm]\bullet[/mm] analog nun bzgl. [mm]\IQ[/mm]
>
> [mm]\bullet[/mm] Wie die Kommutativität bzgl. [mm]\IR[/mm] nachzuweisen ist,
> hängt von der Konstruktion des Körpers [mm]\IR[/mm] ab. (Für
> Cauchyfolgenkonstruktion: Siehe etwa
> Ausarbeitung Aachen),
> und z.B.
> in diesem Skript, Satz 3.18
> findest Du die Konstruktion von [mm]\IR[/mm] über die Dedekindschen
> Schnitte (insbesondere die, formal sicher nicht schönste,
> Definition der Multiplikation auf [mm]\IR[/mm], für welche man dann
> mithilfe dieser Definition und den vorangegangenen
> Überlegungen die Kommutativität dieser Multiplikation
> nachweisen kann).
>
Danke für die Erklärung soweit, bis auf den letzten Abschnitt macht das alles Sinn. Aber in Satz 3.18 wird doch nix zu der Mutliplikation auf [mm] \IR [/mm] gesagt,
und die Konstruktion von [mm] \IR [/mm] ist in dem Script genauso wie bei Heuser. In dem Script wird die Kommutativität auch nicht bewiesen, sondern in den
Axiom vorausgesetzt. So wurde das in meiner VL leider auch gemacht.
Aber zu deiner oben genannten Konstruktion , kann man also allein mit den Axiomen von Peano, alle Axiome ( Körperaxiom, Ordnungsaxiom, Vollständigkeitsaxiom) herleiten + kommutativität etc zeigen?
Noch kurz zu meinen Beweisen:
Mir ist auch klar, das man [mm] \IR [/mm] erstmal definieren muss, aber ich glaube nicht, das wir die für die Konstruktion von [mm] \IR [/mm] die Kommutativität ausgenutzt haben,
jedenfalls hab ich noch keine Stelle gefunden wo sie wichtig war. Und wenn man es nicht braucht, so bin ich mir ziemlich
sicher, das meine Beweise richtig sind.
In meinen Script (hier der link) bin ich die Beweise die wir nach den Axiomen gemacht haben durchgegangen, für Satz 1.3.2.
an v) wurde benutzt das 0*x = x*0, aber man kann zeigen das für neutrales Element und inverses Element diese Eigenschaft immer gilt,
wenn die Verknüpfung assoziativ ist und nur gilt 0*x=0 oder x*0=0 (Fischer Lineare Algebra Satz 1.2.3 a),b))
und bei x) bräuchte man (-1)*x=x*(-1), was ich auch gebraucht habe oben.
Bei den weiteren Definitionen zur Anordnung und Vollständigkeit, haben wir die Kommutativität, so weit ich es überblicke, nicht benutzt.
> P.S.:
> Heuser braucht für [mm]\IR[/mm] die Kommutativtät bzgl. der
> Multiplikation nicht zu beweisen bzw. in dem Buch von
> Heuser ist das nicht vorgesehen, denn soweit ich mich
> erinnere, stellt sich Heuser auf den Standpunkt:
> Es gibt einen vollständig geordneten Körper (er macht das
> auch über das Vollständigkeitsaxiom, wenn ich mich recht
> erinnere), diesen nennen wir [mm]\IR[/mm] und 'anhand unserer
> Rechenerfahrung sind wir uns sicher, [mm]\IR[/mm] gut genug zu
> kennen, so dass wir wissen, dass in [mm]\IR[/mm] mit [mm]+[/mm] als übliche
> Addition und [mm]*[/mm] als übliche Multiplikation dann [mm]\IR[/mm] ein
> vollständiger Körper ist'.
Ja so haben wir es leider auch gemacht.
> Auf diesen Standpunkt kann man sich insofern stellen und
> darauf verlassen, als dass es aus anderen Quellen gesichert
> ist, dass die von Heuser über [mm]\IR[/mm] getroffenen Aussagen
> schon bewiesen worden sind. Der Nachteil ist hier
> natürlich, dass man 'einen nicht unwesentlichen
> Bestandteil' (Existenz eines vollst. angeordneten Körpers
> etc.) einfach 'überspringt', andererseits gelangt man so
> dann etwas schneller zu 'interessanteren Ergebnissen'
> (gewisse 'Formeln', Grenzwertsätze für Folgen, Reihen
> etc.).
> Wenn ich mich recht erinnere, hat Heuser das auch irgendwo
> in dem Kapitel, wo er über die Körperaxiome spricht, selbst
> etwas dazu gesagt, warum er quasi schon [mm]\IR[/mm] 'als von Gott
> gegeben' annimmt, und nicht nur [mm]\IN[/mm]...
>
> P.P.S.:
> Für Dich sicherlich sehr interessant, wenngleich vll. auch
> etwas mühevoll zu lesen, könnte auch
> dieser Artikel: Konstruktion der Zahlenmengen
> sein.
>
> Gruß,
> Marcel
Danke!
EDIT:
Ich hab jetzt das von Peano (der Link von dir) durchgelesen. Bin sehr glücklich darüber, aber wo geht es jetzt weiter mit [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IZ [/mm]
Du hast oben geschrieben das geht jetzt analog durch die Erweiterung der Verknüpfung. Aber wie erweiter ich das jetzt :>? Brauch ich jetzt also die Axiome mit, inverses Element?
Und wie geh ich dann weiter? Übrigens wurde dann [mm] \IR [/mm] konstruiert bevor man die Kommutativität gezeigt hat.
Aber wie wird das gemacht?
Der letzte link, der die Konstruktion der Zahlenmengen erklärt ist zwar eigentlich genau das was ich gesucht habe,
aber der Weg über die Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre und Ordinalzahl find ich auch sehr unnatürlich und es motiviert mich nicht das zu
verstehen, auch wenn ich es noch probiere :).
Gruß Adam
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:55 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Held,
> >
> > jetzt mal ohne ins Detail zu gehen: Ich glaube nicht, dass
> > Du hier irgendwo etwas bewiesen hast; jedenfalls nicht,
> > ohne andere Sachen zu benutzen, die Du uns vorenthalten
> > hast.
> >
>
> Ganz allein mit den Axiomen hab ich es auch nicht
> geschafft, ich musste noch (-1)*x=x*(-1) benutzen
ich war zu faul, um's mir ganz durchzulesen, bezweilfe allerdings, dass das alleine genügt. Denn - wie gesagt - Du benötigst ja erstmal eine Konstruktion von [mm] $\IR$ [/mm] und eine Definition der Multiplikation [mm] $*:\IR \times \IR \to \IR$, [/mm] damit Du [mm] '$\IR$ [/mm] überhaupt erstmal in der Hand hast', bevor Du etwas bzgl. [mm] $\IR$ [/mm] bzw. bzgl. dieser Multiplikation $*$ beweisen kannst. Außerdem wurden ja auch schon von Merle mal die Quaternionen angesprochen...
> > Es gibt verschiedene Wege, den Körper [mm]\IR[/mm] zu konstruieren
> > (oder zu definieren); und um die Kommutativtät der
> > Multiplikation von [mm]\IR[/mm] nachzuweisen, muss man erstmal [mm]\IR[/mm]
> > 'irgendwie konstruiert' haben.
> >
> > Was sicherlich anfangs ziemlich gleich vonstatten geht:
> > Meist startet man sicher bei den natürlichen Zahlen
> [mm]\IN\,,[/mm]
> > definiert dort eine Addition und Multiplikation, also
> > Abbildungen [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm], und zeigt dort gewisse
> > Eigenschaften für diese Abbildungen. Z.B. kannst Du zeigen,
> > dass
> > [mm]*: \IN \times \IN \to \IN[/mm]
> > dann kommutativ ist (man vereinbart dann zudem, zu
> > schreiben: [mm]n*m:=*(n,m)[/mm] für alle [mm](n,m) \in \IN \times \IN[/mm]).
> > Dann geht man weiter und betrachtet [mm]\IZ[/mm] und eine Addition
> > und Multiplikation, also Abbildungen [mm]\IZ \times \IZ \to \IZ[/mm]
> > (die die Abbildungen bzgl. [mm]\IN[/mm] jeweils 'erweitern') und
> > kann auch hier dann die gewünschten Eigenschaften
> > nachweisen.
> >
> > Jetzt definiert man [mm]\IQ\,,[/mm] (z.B. über gewisse
> > 'Äquivalenzklassen von Brüchen') und auch hier läßt sich
> > dann mit den vorhergegangenen Überlegungen z.B. die
> > Kommutativität der Multiplikation [mm]\IQ \times \IQ \to \IQ[/mm]
> > nachweisen. Bei [mm]\IQ[/mm] stellt man erstmaligst fest, dass man
> > nun mit der zugehörigen Addition und Multiplikation einen
> > Körper hat, also [mm](\IQ,+,*)[/mm] ist ein Körper.
> >
> > Jetzt will man [mm]\IR[/mm] konstruieren. Das kann man dann z.B.
> > über die Dedekindschen Schnitte oder über Cauchyfolgen
> > machen. In beiden Fällen kann man dann 'mithilfe der
> > jeweiligen Konstruktion' nachrechnen, dass die Körperaxiome
> > erfüllt sind und das [mm]\IR[/mm] sogar ein vollständig geordneter
> > Körper ist, der in dem Sinne "einzigartig" ist, als dass
> > jeder andere vollständig geordnete Körper zu 'dem
> > konstruierten Körper [mm]\IR[/mm]' ähnlich isomorph ist.
> >
> > Also:
> > Die Kommutativität, z.B. hier bzgl. Multiplikation,
> sollte
> > sich schrittweise so ergeben:
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Kommutativität der Multiplikation [mm]*: \IN \times \IN \to \IN[/mm]
> > wird nachgewiesen (siehe z.B.
> >
> hier)
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Kommutativität der Multiplikation [mm]*: \IZ \times \IZ \to \IZ[/mm]
> > wird nachgewiesen, wobei diese Multiplikation [mm]*[/mm] hier nun
> > eine Erweiterung der obenstehenden Multiplikation [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm]
> > sei
> >
> > [mm]\bullet[/mm] analog nun bzgl. [mm]\IQ[/mm]
> >
> > [mm]\bullet[/mm] Wie die Kommutativität bzgl. [mm]\IR[/mm] nachzuweisen ist,
> > hängt von der Konstruktion des Körpers [mm]\IR[/mm] ab. (Für
> > Cauchyfolgenkonstruktion: Siehe etwa
> >
> Ausarbeitung Aachen),
> > und z.B.
> >
> in diesem Skript, Satz 3.18
> > findest Du die Konstruktion von [mm]\IR[/mm] über die Dedekindschen
> > Schnitte (insbesondere die, formal sicher nicht schönste,
> > Definition der Multiplikation auf [mm]\IR[/mm], für welche man dann
> > mithilfe dieser Definition und den vorangegangenen
> > Überlegungen die Kommutativität dieser Multiplikation
> > nachweisen kann).
> >
>
> Danke für die Erklärung soweit, bis auf den letzten
> Abschnitt macht das alles Sinn. Aber in Satz 3.18 wird doch
> nix zu der Mutliplikation auf [mm]\IR[/mm] gesagt,
Dann hast Du es nicht genau gelesen. Dort wird mithilfe der Dedekindschen Schnitte erklärt, wie die Multiplikation $*: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] definiert ist, zunächst für [mm] $\alpha, \beta \in \IR_+$:
[/mm]
[mm] $$\alpha*\beta:=\{ p \in \IQ:...\} \text{ Skript S.26 unten}\,.$$
[/mm]
Schreiben wir mal [mm] $\odot$ [/mm] anstatt $*$, wenn wir diese auf [mm] $\IR_+$ [/mm] definierte Multiplikation meinen (also [mm] $\odot$ [/mm] ist die 'Multiplikation [mm] '$\odot: \IR_+ \times \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] mit [mm] $\alpha \odot \beta:=\{ p \in \IQ:...\}$ [/mm] (vgl. Skript), [mm] $(\alpha,\beta) \in \IR_+ \times \IR_+$).
[/mm]
Wenn Du nun weißt, dass die Multiplikation $*: [mm] \IQ \times \IQ \to \IQ$ [/mm] kommutativ ist und dann diese Definition benutzt, solltest Du schonmal nachweisen können, dass die Multiplikation [mm] $\odot$ [/mm] dann kommutativ ist.
Wenn Du das hast, dann liest Du Dir im Skript durch, wie nun die Multiplikation
$$*: [mm] \IR \times \IR \to \IR$$
[/mm]
definiert ist. Am Ende steht dort nicht umsonst 'damit wird [mm] $(\IR,+,*,<)$ [/mm] zu einem geordneten Körper'. Diese Formulierung besagt nicht, dass $*$ per Axiom dann kommutativ ist, sondern, dass diese so definierte Abbildung $*: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] dann eine Abbildung ist, die kommutativ ist. Es läßt sich also beweisen, dass diese Definition von $*$ eine Multiplikation liefert, die kommutativ ist!
> und die Konstruktion von [mm]\IR[/mm] ist in dem Script genauso wie
> bei Heuser. In dem Script wird die Kommutativität auch
> nicht bewiesen, sondern in den
> Axiom vorausgesetzt. So wurde das in meiner VL leider auch
> gemacht.
Im Skript wird sie nicht bewiesen, aber sicher nicht als Axiom vorausgesetzt. Man könnte es z.B. als Übungsaufgabe stellen, dass zu beweisen sei:
Mithilfe der 'über die Dedekinschen Schnitte definierten Menge [mm] $\IR$ [/mm] mit der zugehörigen definierten Multiplikation $*: [mm] \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] wie im Skript' sei zu beweisen, dass diese Multiplikation kommutativ ist.
> Aber zu deiner oben genannten Konstruktion , kann man also
> allein mit den Axiomen von Peano, alle Axiome (
> Körperaxiom, Ordnungsaxiom, Vollständigkeitsaxiom)
> herleiten + kommutativität etc zeigen?
>
> Noch kurz zu meinen Beweisen:
>
> Mir ist auch klar, das man [mm]\IR[/mm] erstmal definieren muss,
> aber ich glaube nicht, das wir die für die Konstruktion von
> [mm]\IR[/mm] die Kommutativität ausgenutzt haben,
> jedenfalls hab ich noch keine Stelle gefunden wo sie
> wichtig war. Und wenn man es nicht braucht, so bin ich mir
> ziemlich
> sicher, das meine Beweise richtig sind.
>
> In meinen Script
> (hier der link)
> bin ich die Beweise die wir nach den Axiomen gemacht haben
> durchgegangen, für Satz 1.3.2.
>
> an v) wurde benutzt das 0*x = x*0, aber man kann zeigen das
> für neutrales Element und inverses Element diese
> Eigenschaft immer gilt,
> wenn die Verknüpfung assoziativ ist und nur gilt 0*x=0
> oder x*0=0 (Fischer Lineare Algebra Satz 1.2.3 a),b))
> und bei x) bräuchte man (-1)*x=x*(-1), was ich auch
> gebraucht habe oben.
>
> Bei den weiteren Definitionen zur Anordnung und
> Vollständigkeit, haben wir die Kommutativität, so weit ich
> es überblicke, nicht benutzt.
>
>
>
> > P.S.:
> > Heuser braucht für [mm]\IR[/mm] die Kommutativtät bzgl. der
> > Multiplikation nicht zu beweisen bzw. in dem Buch von
> > Heuser ist das nicht vorgesehen, denn soweit ich mich
> > erinnere, stellt sich Heuser auf den Standpunkt:
> > Es gibt einen vollständig geordneten Körper (er macht
> das
> > auch über das Vollständigkeitsaxiom, wenn ich mich recht
> > erinnere), diesen nennen wir [mm]\IR[/mm] und 'anhand unserer
> > Rechenerfahrung sind wir uns sicher, [mm]\IR[/mm] gut genug zu
> > kennen, so dass wir wissen, dass in [mm]\IR[/mm] mit [mm]+[/mm] als übliche
> > Addition und [mm]*[/mm] als übliche Multiplikation dann [mm]\IR[/mm] ein
> > vollständiger Körper ist'.
>
>
> Ja so haben wir es leider auch gemacht.
>
>
> > Auf diesen Standpunkt kann man sich insofern stellen und
> > darauf verlassen, als dass es aus anderen Quellen gesichert
> > ist, dass die von Heuser über [mm]\IR[/mm] getroffenen Aussagen
> > schon bewiesen worden sind. Der Nachteil ist hier
> > natürlich, dass man 'einen nicht unwesentlichen
> > Bestandteil' (Existenz eines vollst. angeordneten Körpers
> > etc.) einfach 'überspringt', andererseits gelangt man so
> > dann etwas schneller zu 'interessanteren Ergebnissen'
> > (gewisse 'Formeln', Grenzwertsätze für Folgen, Reihen
> > etc.).
> > Wenn ich mich recht erinnere, hat Heuser das auch
> irgendwo
> > in dem Kapitel, wo er über die Körperaxiome spricht, selbst
> > etwas dazu gesagt, warum er quasi schon [mm]\IR[/mm] 'als von Gott
> > gegeben' annimmt, und nicht nur [mm]\IN[/mm]...
> >
> > P.P.S.:
> > Für Dich sicherlich sehr interessant, wenngleich vll.
> auch
> > etwas mühevoll zu lesen, könnte auch
> >
> dieser Artikel: Konstruktion der Zahlenmengen
> > sein.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Danke!
>
> EDIT:
>
> Ich hab jetzt das von Peano (der Link von dir)
> durchgelesen. Bin sehr glücklich darüber, aber wo geht es
> jetzt weiter mit [mm]\IQ[/mm] und [mm]\IZ[/mm]
> Du hast oben geschrieben das geht jetzt analog durch die
> Erweiterung der Verknüpfung. Aber wie erweiter ich das
> jetzt :>? Brauch ich jetzt also die Axiome mit, inverses
> Element?
Das steht doch auch in dem Link zum Aufbau der Zahlenbereiche (am Ende hast Du mehrere Teile, die Du anklicken kannst!). Im dritten Teil wird eine Addition und Multiplikation [mm] $\IZ \times \IZ \to \IZ$ [/mm] definiert, im vierten geht's dann weiter mit [mm] $\IQ$ [/mm] etc...
> Und wie geh ich dann weiter? Übrigens wurde dann [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> konstruiert bevor man die Kommutativität gezeigt hat.
> Aber wie wird das gemacht?
Eben. Man 'definiert $\IR$ und Abbildungen $+,*: \IR \times \IR \to \IR$' und zeigt dann (oder behauptet, dass jemand zeigen kann  ), dass diese so definierten Abbildungen z.B. kommutativ sind. Wie willst Du das auch sonst machen? Da wird nicht die Existenz einer solchen als Axiom vorausgesetzt, sondern die Abbildungen werden 'definiert', und dann hat man zu zeigen, dass diese Definitionen das Gewünschte leisten.
Und im Satz 3.18 oben steht nicht, dass $*$ per Axiom eine kommutative Abbildung ist, sondern da wird behauptet, dass diese so definierte Abbildung eine kommutative Abbildung ist (da es eine Beweisskizze ist, wurde der Beweis wohl im Skript vorenthalten, aber Du könntest mal selbst versuchen, diese Behauptung mit der dort gegebenen Definition nachzurechnen!). Von daher verstehe ich auch Deinen Einwand nicht, dass Du sagst, dass die Kommutativität dort per Axiom gelten würde. Das steht im Skript an keiner Stelle!
> Der letzte link, der die Konstruktion der Zahlenmengen
> erklärt ist zwar eigentlich genau das was ich gesucht
> habe,
> aber der Weg über die Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre
> und Ordinalzahl find ich auch sehr unnatürlich und es
> motiviert mich nicht das zu
> verstehen, auch wenn ich es noch probiere :).
Ja, das ist eben sicher nicht das einfachste an der Geschichte.
P.S.:
Soweit ich weiß, hast Du schonmal gesehen, dass die Abbildungen $+,\;*: \IN \times \IN \to \IN$ kommutativ sind. Mit diesem Wissen kannst Du vll. bei dem Link mit den Zahlenbereichen einfach bei dem '3. Teil' starten und das ganze erst ab da, dafür dann aber intensiv, verfolgen.
Und was ich übrigens mit erweitern der Multiplikation meine:
Bezeichnen wir mal die Multiplikation $*: \IN \times \IN \to \IN$ mit $mul_{\IN}\,.$ Jetzt definiert man eine Multiplikation $*: \IZ \times \IZ \to \IZ\,,$ was man eigentlich nicht dürfte, weil wir $*$ schon als Symbol für die Abbildung $*: \IN \times \IN \to \IN$ benutzt haben. Zur Unterscheidung dieser beiden Abbildungen schreiben wir für die Multiplikation bzgl. $\IZ$ mal analog $mul_{\IZ}\,.$
(Also strenggenommen wäre dann $mul_{\IN}: \IN \times \IN \to \IN$ die Multiplikation $*: \IN \times \IN \to \IN$ und $mul_{\IZ}$ die Multiplikation $\IZ \times \IZ \to \IZ$.
Dann gilt (neben weiteren Eigenschaften, die man nachzurechnen hätte, z.B. die Kommutativität von $mul_{\IZ}$):
Die Einschränkung von $mul_{\IZ}$ auf $\IN \times \IN$ (im Zeichen $\left.mul_{\IZ}\right|_{\IN \times \IN}$) ist gerade $mul_{\IN}$, d.h.
$$\left.mul_{\IZ}\right|_{\IN \times \IN}=mul_{\IN}\,.$$
(Jedenfalls sollte $mul_{\IZ}$ so definiert worden sein, dass diese Beziehung gilt!)
Und eigentlich kann man gerade mithilfe dieser Überlegung, und weil $\IN$ in $\IZ$ eingebettet ist, rechtfertigen, dass man für $mul_{\IZ}$ dann genauso $*$ schreibt, obwohl man vorher schon $*$ für $mul_{\IN}$ geschrieben hatte.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Mo 13.04.2009 | | Autor: | Merle23 |
Marcel hat alles dazu gesagt, was es dazu zu sagen gibt.
Aber was anderes: Man kann die Kommutativität der -Addition- wirklich aus den restlichen Axiomen in einem Körper beweisen, siehe hier.
Mit der Multiplikation geht das aber nicht. Es gibt Beispiele für echte Schiefkörper, z.B. die Quaternionen.
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