Bézierflächen C^r Bedingung < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:24 Mo 04.01.2016 | | Autor: | Rocky14 |
Hallo ihr Lieben!
erstmal ein frohes neues Jahr an alle!
Ich bereite gerade meinen Vortrag für ein Seminar vor und soweit steht auch alles. Jedoch bereitet mir der Beweis eines Satzes Probleme.
Meine Literaturgrundlage ist das Buch Kurven und Flächen im Computer Aided Geometric Design von Gerald Farin.
Konkret geht es um folgende Aussage:
Satz: [mm] C^r [/mm] Bedingung für zusammengesetzte Bézierflächen
Zwei benachbarte Bézierteilflächen sind quer zu ihrer gemeinsamen Randkurve [mm] C^r [/mm] stetig genau dann, wenn alle Reihen ihrer Kontrollnetzpunkte als Polygone von [mm] C^r [/mm] stetigen, stückweisen Bézierkurven aufgefasst werden können.
In Formeln bedeutet dies: [mm] (1/(u_I-u_{I-1}))^r \Delta^{r,0} b_{m-r,j}= (1/(u_{I+1}-u_I ))^r \Delta^{r,0} b_{m,j}
[/mm]
Die Bedingung gilt in analoger Weise für die v-Richtung.
Ich bin bei meinen bisherigen Überlegungen so weit gekommen:
[mm] \bruch{\partial^r}{(\partial u^r )} x(u,v)┤|_{u=u_I}
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial^r}{(\partial u^r )} x(u_I,v)
[/mm]
[mm] =\bruch{\partial^r}{(\partial u^r )} \summe_{j=0}^n\summe_{i=0}^m b_{i,j} B_i^m (u_I) B_j^n [/mm] (v)
[mm] =\summe_{j=0}^n\bruch{\partial^r}{(\partial u^r )} \summe_{i=0}^m b_{i,j} B_i^m (u_I) B_j^n [/mm] (v)
= [mm] \summe_{j=0}^n [/mm] m*(m-1)*...*(m-r+1) [mm] \summe_{i=0}^{m-r} \Delta^{r,0} b_{i,j} B_i^{m-r}(u_I)B_j^n(v)
[/mm]
[mm] =\summe_{j=0}^n [/mm] m*(m-1)*...*(m-r+1) [mm] \summe_{i=0}^{r} \Delta^{r,0} b_{m-i,j} B_i^{m-r}(u_I)B_j^n(v)
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^n [/mm] m*(m-1)*...*(m-r+1) [mm] \summe_{i=0}^{r} \Delta^{r,0} b_{m-i,j}\vektor{m-r \\ i} u_I^i (1-u_I )^i B_j^n(v)
[/mm]
= [mm] \summe_{j=0}^n \summe_{i=0}^{r} \Delta^{r,0} b_{m-i,j}\vektor{m \\ i} u_I^i (1-u_I )^i B_j^n(v)
[/mm]
? = [mm] \summe_{j=0}^n \bruch{1}{(u_I-u_{I-1})}^r \Delta^{r,0} b_{m-r,j} B_j^n(v)
[/mm]
Wie gelange ich nun zu der Gleichung mit dem Fragezeichen?
Bin sehr dankbar für jeden Tipp!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 13.01.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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