BW-Mathematik < Bundeswettbewerb < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 10:23 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho.
Herkunft: Bundeswettbewerb MAthematik
Zwei Zahlen, von denen eine eine Ziffernpermutation der anderen darstellt, haben die Summe [mm]999..9[/mm] (lauter Neunen). Ist dies möglich, wenn die Zahlen aus
(a) 1999
(b) 2000
Ziffern bestehen?
Gruß,
Hanno
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 So 22.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Hanno!
Ich habe die Aufgabe gelöst. Ist dir denn die Lösung klar, willst du die Aufgabe für andere Schülerinnen und Schüler nur zur Übung stellen oder bist du selber an einer Lösung interessiert?
Warten wir einfach mal auf Lösungsvorschläge. Vielleicht kannst du die Aufgabe dann ja nächste Woche auflösen (oder aber ich, falls dir die Lösung selber nicht ganz klar ist). Besser wäre aber, du würdest sie dann nächste Woche selber auflösen, denn für dich ist es eine bessere Übung. 
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:34 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Stefan.
Eigentlich stelle ich nur Aufgaben hierrein, die ich selber schon gelöst habe 
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
Ich werde mal mein Glück versuchen:
Es soll ja eine Summe herauskommen die nur aus Neunen besteht. Das geht eigentlich nur wenn bei der Addition der beiden Summanden keine Überträge vorkommen (kämen welche vor so stünde an mindestens einer Stelle der Summe höchstens eine 8). Demzufolge müssen die Summanden aus Ziffern zusammengesetzt sein, die sich zu einer Neun ergänzen. Z.B.:
18181818 +
81818181
=99999999
Jede Ziffer muss genausooft in der einen wie in der anderen Zahl vorkommen (Da die eine Zahl eine Ziffernpermutation der anderen sein soll). Daher muss für jedes "Ziffernpaar", das sich zu einer 9 ergänzt, das selbe noch einmal umgekehrt vorkommen. Z.B.:
6354 +
3645
=9999
Die Anzahl gleicher Ziffernpaare (die umgekehrten eingeschlossen) muss also gerade sein. Bei einer geraden Anzahl Stellen funktioniert das problemlos, z.B.:
18 18 18 ... +
81 81 81 ...
= 99 99 99 ...
Für (b) ist das Ganze also möglich. Bei einer ungeraden Anzahl wird obiges Kriterium nicht erfüllt:
a,b,c und d bezeichnen die Anzahlen gleicher Ziffernpaare (1+8,2+7,3+6,4+5). z sei die Anzahl Stellen der beiden Zahlen.
Dann gilt:
z=a+b+c+d
Ist z ungerade so können a,b,c und d nicht alle gerade sein. Es ist also nicht möglich, dass alle gleichen Ziffernpaare in einer geraden Anzahl vorliegen. Somit sind für (a) die Kriterien nicht erfüllt.
Ich vermute mal das geht mathematisch noch viel exakter (aber was will man von jemandem aus einer hessischen Gesamtschule erwarten )
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 So 22.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Kai.
Genau so habe ich mir das auch überlegt und es ist auch richtig.
Glückwunsch!
Hinweisen möchte ich allerdings noch auf den Hinweis (*gg*) vom BW-Mathematik, dass viele Punkte abgezogen wurden, wenn jemand ohne Begründung angenommen hat, ein Übertrag sei ausgeschlossen.
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
Hallo Hanno.
Angenommen bei der Addition der Ziffern an der Stelle n entsteht ein Übertrag. Dann ist die resultierende Ziffer an dieser Stelle höchstens 8 (Da die 9 im Dezimalsystem die größte Ziffer ist: 9+9=18) falls nicht bei der Addition der Ziffern an der Stelle n-1 auch ein Übertrag entsteht.
Nimmt man dies an so gilt nun das Gleiche für die Stelle n-1:
Es wird ein Übertrag von der Stelle n-2 benötigt um auf 9 zu kommen. Das Ganze lässt sich auf diese Weise weiterführen bis zur Stelle 1. Dort muss also ebenfalls ein Übertrag vorliegen. Da der ersten Stelle keine Stelle vorausgeht ist die resultierende Ziffer höchstens 8. Somit bestünde die Zahl nicht nur aus Neunen.
Meinst du das reicht als Begründung? Könnte vielleicht noch ein bisschen mathematische Würze gebrauchen (ein paar griechische Buchstaben etc. )
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:11 So 22.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ist es nicht viel einfacher, es so zu formulieren:
Überträge entstehen bei der Addition von rechts nach links.
An der rechten Stelle, also der Einerstelle, hat die Summe eine 9.
Diese kann nur ohne Übertrag (auf die nächste Stelle) zustande gekommen sein, also nur durch die Summation von 1+8, 2+7, 3+6, 4+5.
An der zweiten Stelle gibt es also keinen Übertrag, wieder können nur die eben genannten Ziffernpaare die 9 an der zweiten Stelle erreichen.
So kann man induktiv für alle Stellen schließen, dass es an keiner Stelle Überträge geben kann.
Viele Grüße,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:32 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi MArc.
Ich hatte mir es auch induktiv erschlossen. Wie ist letztenendes ja egal, ich wollte auch nur darauf hinweisen, dass man es nicht vernachlässigen sollte.
Gruß,
Hanno
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Do 26.08.2004 | | Autor: | KaiAhnung |
Hallo.
> ist es nicht viel einfacher, es so zu formulieren:
> Überträge entstehen bei der Addition von rechts nach
> links.
> An der rechten Stelle, also der Einerstelle, hat die Summe
> eine 9.
> Diese kann nur ohne Übertrag (auf die nächste Stelle)
> zustande gekommen sein, also nur durch die Summation von
> 1+8, 2+7, 3+6, 4+5.
> An der zweiten Stelle gibt es also keinen Übertrag, wieder
> können nur die eben genannten Ziffernpaare die 9 an der
> zweiten Stelle erreichen.
Du hast völlig Recht, so ist es einfacher. Ich habe wohl zu kompliziert gedacht (bzw. mein Fehler war, dass ich nicht an der ersten Stelle begonnen habe).
MfG
Jan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:34 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Kai.
Wunderbar, damit hätteszt du dann keine Punktabzüge bekommen nehme ich an
Gruß,
Hanno
|
|
|
|
