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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:53 Di 24.03.2009 | | Autor: | daria |
Ich habe keine exakte Frage.
Ich versuche mich gerade besser in Gruppen einzuarbeiten.
Bin gerade beim Begriff Orbit/Bahn.
Bei uns wurde das definiert als:
[mm] $a^G:=\{g(a)|g \in G\}$.
[/mm]
Kann mir vielleicht jemand ein "einfaches" Beispiel geben, was genau damit gemeint ist.
Vielen vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Di 24.03.2009 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ich habe keine exakte Frage.
> Ich versuche mich gerade besser in Gruppen einzuarbeiten.
> Bin gerade beim Begriff Orbit/Bahn.
> Bei uns wurde das definiert als:
> [mm]a^G:=\{g(a)|g \in G\}[/mm].
>
> Kann mir vielleicht jemand ein "einfaches" Beispiel geben,
> was genau damit gemeint ist.
Du nimmst die 4 Eckpunkte A, B, C und D eines Rechtecks und als operierende Gruppe die Symmetriegruppe G des Rechtecks, also diejenigen Abbildungen, die das Rechteck auf sich abbilden. Diese Gruppe hat 4 Elemente: die Identität, 2 Spiegelungen und eine Drehung.
Was ist jetzt die Bahn von A?
Die Drehung und die Identität bilden eine Untergruppe U, die auch auf den 4 Punkten operiert. Was ist die Bahn von A, wenn ich nur U betrachte?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Falls das Rechteck auch ein Quadrat ist, so gibt es sogar drei Drehungen in der Symmetriegruppe. 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 24.03.2009 | | Autor: | daria |
Okay, also wenn ich
A B
D C
spiegele bekomme ich
B A oder D C
C D A B
wenn ich drehe bekomme ich
C D
B A
oder? Sind das jetzt die Bahnen (mit der id)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 24.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Okay, also wenn ich
>
> A B
> D C
Roberts Bemerkung gemäß sollte das Ding so aussehen:
A B
D C
> spiegele bekomme ich
>
> B A oder D C
> C D A B
B A oder D C
C D A B
> wenn ich drehe bekomme ich
>
> C D
> B A
C D
B A
> oder? Sind das jetzt die Bahnen (mit der id)?
Die Bahn von A sind jetzt die Punkte, wo A überall gelandet ist, also alle Punkte.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 24.03.2009 | | Autor: | daria |
Ah ok, jetzt hab ich es verstanden. Man betrachtet immer nur ein Element und schaut auf welche Elemente es abgebildet werden kann.
wenn man jetzt zum Beispiel die Anzahl der Bahnen betrachtet:
[mm] $b(G):=|\{a \in A|a \in A \}|$
[/mm]
Betrachtet man hier jetzt alle Elemente aus A?
Zählt man die Anzahl für jede Bahn zusammen?
oder ist die Anzahl für die Elemente immer gleich?
Wäre das in unserem Beispiel = 3 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:43 Mi 25.03.2009 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ah ok, jetzt hab ich es verstanden.
Ich bin mir nicht völlig sicher [mm] $\ldots$
[/mm]
> Man betrachtet immer
> nur ein Element und schaut auf welche Elemente es
> abgebildet werden kann.
Das stimmt, aber es kann auch auf sich selbst abgebildet werden, durch das neutrale Element der Gruppe nämlich, hier die Identität.
> wenn man jetzt zum Beispiel die Anzahl der Bahnen
> betrachtet:
> [mm]b(G):=|\{a \in A|a \in A \}|[/mm]
Was ist jetzt A? G soll wohl die Gruppe sein.
> Betrachtet man hier jetzt
> alle Elemente aus A?
> Zählt man die Anzahl für jede Bahn zusammen?
In unserem Beispiel mit dem Rechteck gibt es genau eine Bahn (der Länge 4). Nimmst du als Gruppe eine von den 3 Untergruppen mit 2 Elementen, gibt es 2 Bahnen mit je 2 Elementen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Mi 25.03.2009 | | Autor: | daria |
> > Ah ok, jetzt hab ich es verstanden.
>
> Ich bin mir nicht völlig sicher [mm]\ldots[/mm]
>
Du hast recht, ich bin mir auch nicht mehr sicher =(
In der Def steht:
$G$ Permutationsgruppe
$A$ Menge auf der G operiere
und $a [mm] \in [/mm] A$
Okay, also in unserem Beispiel kann A entweder
A={2 Spiegelungen, 1 Drehung, Identität} mit 1 Bahn Länge = 4
als Untergruppen
A={2 Spiegelungen} mit 2 Bahnen der Länge = 2
A={1 Drehung} mit 1 Bahn der Länge = 2
A={Identität} mit 1 Bahn der Länge = 1
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Mi 25.03.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> In der Def steht:
>
> [mm]G[/mm] Permutationsgruppe
> [mm]A[/mm] Menge auf der G operiere
> und [mm]a \in A[/mm]
Um mit meinem Beispiel konsistent zu bleiben, nenne ich die Menge M und das Element (z. B.) A
> Okay, also in unserem Beispiel kann A entweder
> A={2 Spiegelungen, 1 Drehung, Identität} mit 1 Bahn Länge
> = 4
Nein, G = {2 Spiegelungen, 1 Drehung, Identität} mit 1 Bahn Länge = 4
> als Untergruppen
>
> A={2 Spiegelungen} mit 2 Bahnen der Länge = 2
> A={1 Drehung} mit 1 Bahn der Länge = 2
Das sind keine Untergruppen! Und wenn sie es wären, sollten sie anders heißen! Innerhalb eines Kontextes darfst du keinesfalls den gleichen Namen für verschiedene Dinge benutzen. Wenn in einer Schulklasse mit mehr als 2 SchülerInnen alle Lehmann heißen, ist das ein Problem.
Also:
[mm] U_1 [/mm] = {Identität, Spiegelung1}
[mm] U_2 [/mm] = {Identität, Spiegelung2}
[mm] U_3 [/mm] = {Identität, Drehung}
In allen 3 Fällen gibt es 2 Bahnen der Länge 2, im 3. [mm] z.$\,$B. [/mm] {A, C} und {B, D}.
> A={Identität} mit 1 Bahn der Länge = 1
[mm] U_4 [/mm] = {Identität} mit 4 Bahnen der Länge = 1, nämlich {A}, {B}, {C} und {D}
Jetzt klarer?
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:59 Do 26.03.2009 | | Autor: | daria |
Vielen vielen Dank.
Jetzt ist es mir wirklich klar geworden!
Mein Ziel ist es das Chauchy-Frobenius-Lemma zu verstehen, aber dafür mache ich besser einen neuen Beitrag auf, sonst wird es zu unübersichtlich!
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