Bahndrehimpuls < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 08.06.2008 | | Autor: | hayabusa |
| Aufgabe | Der Bahndrehimpuls sei gegeben durch
[mm] L_{\alpha}=(\vec{X}\times\vec{ P})_{\alpha}=\epsilon_{abc}X_{b}P_{c}.
[/mm]
Zeigen Sie :
[mm] [L_{\alpha},X_{b}] [/mm] = i [mm] *\hbar* \epsilon_{abc}* X_{c} [/mm] |
Meine Rechnungen lauten :
[mm] [L_{\alpha},X_{b}]=
[/mm]
[mm] =L_{\alpha}X_{b}- X_{b}L_{\alpha}
[/mm]
= [mm] \epsilon_{abc}X_{b}P_{c} X_{b} [/mm] - [mm] X_{b}\epsilon_{abc}X_{b}P_{c}
[/mm]
= [mm] \epsilon_{abc}\{X_{b}P_{c} X_{b}-X_{b}X_{b}P_{c}\}
[/mm]
= [mm] \epsilon_{abc}\{-(X_{b}X_{b}P_{c}- X_{b}P_{c} X_{b})\}
[/mm]
[mm] =\epsilon_{abc}\{-[X_{b},X_{b}P_{c}]\}
[/mm]
Nutze folgende Kommutatorbeziehung für [mm] [X_{b},X_{b}P_{c}] [/mm] :
[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]
und erhalte
= [mm] \epsilon_{abc}\{-([X_{b},X_{b}] P_{c} + X_{b} [X_{b},P_{c}])\}
[/mm]
Da [mm] [X_{b},X_{b}]=0 [/mm] und [mm] [X_{b},P_{c}]= [/mm] i [mm] \hbar \delta_{bc} [/mm]
kriege ich als Endergebnis für b=c :
= - [mm] \epsilon_{abc} [/mm] i [mm] \hbar X_{b}
[/mm]
Meine Frage:
Warum kriege ich ein negatives Vorzeichen?
Liegt es daran, dass ich den epsilon tensor nicht wie eine Zahl behandeln darf ?
Ist vielleicht ein Tippfehler in der Aufgabe?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Der Bahndrehimpuls sei gegeben durch
>
> [mm]L_{\alpha}=(\vec{X}\times\vec{ P})_{\alpha}=\epsilon_{abc}X_{b}P_{c}.[/mm]
>
> Zeigen Sie :
>
> [mm][L_{\alpha},X_{b}][/mm] = i [mm]*\hbar* \epsilon_{abc}* X_{c}[/mm]
> Meine Rechnungen lauten :
>
> [mm][L_{\alpha},X_{b}]=[/mm]
>
> [mm]=L_{\alpha}X_{b}- X_{b}L_{\alpha}[/mm]
>
> = [mm]\epsilon_{abc}X_{b}P_{c} X_{b}[/mm] -
> [mm]X_{b}\epsilon_{abc}X_{b}P_{c}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du benutzt zweimal den Index b: einmal für die Komponente von X, und einmal für die innere Summation. (Mal abgesehen davon, dass du a und [mm] $\alpha$ [/mm] nicht unterscheidest)
Richtig:
[mm] [L_a,X_{b}]= i\hbar [\epsilon_{acd} X_c P_d, X_b] = i\hbar \epsilon_{acd} [X_c P_d, X_b] [/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 So 08.06.2008 | | Autor: | hayabusa |
> Richtig:
>
> [mm][L_a,X_{b}]= i\hbar [\epsilon_{acd} X_c P_d, X_b] = i\hbar \epsilon_{acd} [X_c P_d, X_b][/mm]
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
>
Wenn ich jedoch [mm] [X_c P_d, X_b] [/mm] = [mm] [X_c, X_b] P_d [/mm] + [mm] X_c [P_d, X_b] [/mm]
mit d=b ausrechne , erhalte ich:
[mm] X_c [/mm] *(-i [mm] *\hbar [/mm] )
Wo liegt mein Denkfehler?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 08.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Richtig:
> >
> > [mm][L_a,X_{b}]= i\hbar [\epsilon_{acd} X_c P_d, X_b] = i\hbar \epsilon_{acd} [X_c P_d, X_b][/mm]
>
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
> >
> >
>
> Wenn ich jedoch [mm][X_c P_d, X_b][/mm] = [mm][X_c, X_b] P_d[/mm] + [mm]X_c [P_d, X_b][/mm]
>
> mit d=b ausrechne , erhalte ich:
>
> [mm]X_c[/mm] *(-i [mm]*\hbar[/mm] )
Du hast nicht berücksichtigt, dass das [mm] $\epsilon$-Symbol [/mm] antisymmetrisch ist, also [mm] $\epsilon_{acb} [/mm] = - [mm] \epsilon_{abc}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mo 09.06.2008 | | Autor: | hayabusa |
Vielen Dank Rainer.
Jetzt ist der Groschen gefallen:) .
Gruß
hayabusa
|
|
|
|
