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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Angenommen ich habe eine Gruppe G der Ordnung
[mm] \left| G \right| [/mm] = 65. G operiere auf einer Menge M. Welche Länge können die Bahnen von G haben?
Bahnengleichung :
[mm] \left| G \right| = \sum_{k=1}^{n} |Gx_i| [/mm]
65 = [mm] \sum_{k=1}^{n} |Gx_i|
[/mm]
Dementsprechend können die Bahnen doch alle Ordnungen von 1 bis 65 annehmen... je nachdem, wie viele Bahnen ich habe????
Kann ich irgendwelche Aussagen über die Anzahl der Bahnen machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:31 Do 30.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Angenommen ich habe eine Gruppe G der Ordnung
> [mm]\left| G \right|[/mm] = 65. G operiere auf einer Menge M. Welche
> Länge können die Bahnen von G haben?
Eine Bahn ist dochn für ein m definiert duch [m]B=\{x*m|x\in G\}[/m]. Welche Möglichkeiten gibt es denn nun für [m]|B|[/m] ist die Frage
> Bahnengleichung :
> [mm]\left| G \right| = \sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
> 65 =
> [mm]\sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
Ich werde aus den [m]x_i[/m] nicht schlau ...
> Dementsprechend können die Bahnen doch alle Ordnungen von 1
> bis 65 annehmen... je nachdem, wie viele Bahnen ich
> habe????
Äh nein, die Anzahl der Bahnen ist abhängig von M - die möglichen Ordnung lediglich von G. Welche Möglichkeiten gibt es nun für [m]|B|[/m]? Also dazu schau dir erstmal die Standgruppe für m an ([m]S=\{g|g*m=m\}[/m]). Jetzt schau dir mal die Nebenklassen [m]g_iS[/m] an. Was passiert unter der Operation bzgl. der Nebenklassen? Jetzt ergibt dies eine Bijektion zwischen den Elementen der Bahn und [m]G/S[/m].
> Kann ich irgendwelche Aussagen über die Anzahl der Bahnen
> machen?
Ja, gewisse gehen schon. Das hängt stark von M ab, von der Art der Operation etc pp
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:44 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
> > Angenommen ich habe eine Gruppe G der Ordnung
> > [mm]\left| G \right|[/mm] = 65. G operiere auf einer Menge M. Welche
> > Länge können die Bahnen von G haben?
>
> Eine Bahn ist dochn für ein m definiert duch [m]B=\{x*m|x\in G\}[/m].
> Welche Möglichkeiten gibt es denn nun für [m]|B|[/m] ist die
> Frage
Aehm, ja bei uns war eine Bahn mit Gx = {gx | g [mm] \in [/mm] G} x [mm] \in [/mm] M bezeichnet, also dein B.
> > Bahnengleichung :
> > [mm]\left| G \right| = \sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
> > 65 =
> > [mm]\sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
>
> Ich werde aus den [m]x_i[/m] nicht schlau ...
Die [mm] Gx_i [/mm] bezeichnen die einzelnen Bahnen. Angenommen ich habe ich Permutation [mm] S_3. [/mm] Dann kann ich diese doch in verschiedene Zykel oder Bahnen zerlegen, wobei die Summe deren Ordnungen immer 6 ergeben muss. Zumindest hatten wir das als Beispiel in der Vorlesung.
>
> > Dementsprechend können die Bahnen doch alle Ordnungen von 1
> > bis 65 annehmen... je nachdem, wie viele Bahnen ich
> > habe????
>
> Äh nein, die Anzahl der Bahnen ist abhängig von M - die
> möglichen Ordnung lediglich von G. Welche Möglichkeiten
> gibt es nun für [m]|B|[/m]? Also dazu schau dir erstmal die
> Standgruppe für ntergruppe
Was bitte ist das? Ist mir unbekannt.
auch die Standgruppe der anderen
> Bahnmitglieder? Kann man jetzt was mit Nebenklassen machen?
> Das wären so meine Ideen dazu.
>
> > Kann ich irgendwelche Aussagen über die Anzahl der Bahnen
> > machen?
>
> Ja, gewisse gehen schon. Das hängt stark von M ab, von der
> Art der Operation etc pp
Also nein, wenn weder die Operation und M explizit gegeben sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Do 30.03.2006 | | Autor: | SEcki |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aehm, ja bei uns war eine Bahn mit Gx = {gx | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} x
> [mm]\in[/mm] M bezeichnet, also dein B.
Ja, B steht für Bahn.
> > > Bahnengleichung :
> > > [mm]\left| G \right| = \sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
> > > 65 =
> > > [mm]\sum_{k=1}^{n} |Gx_i|[/mm]
> >
> > Ich werde aus den [m]x_i[/m] nicht schlau ...
>
> Die [mm]Gx_i[/mm] bezeichnen die einzelnen Bahnen.
Also sind die [m]x_i[/m] jeweils Repräsentanten aus der Bahn? Sonst würdets du Bahnen öfters zählen, zB.
> Angenommen ich
> habe ich Permutation [mm]S_3.[/mm]
Als G? Als M? Sowohl als auch?
> Dann kann ich diese doch in
> verschiedene Zykel oder Bahnen zerlegen, wobei die Summe
> deren Ordnungen immer 6 ergeben muss. Zumindest hatten wir
> das als Beispiel in der Vorlesung.
Also so ganz kann das irgendwie nicht stimmen bzw. werde ich noicht schlau draus - bitte genau das Beispiel nageben
> > Standgruppe für ntergruppe
>
> Was bitte ist das? Ist mir unbekannt.
Steht in Klammern dahiter  (jedenfalls jetzt - ich habe meine Antwort korrigiert)
> > Ja, gewisse gehen schon. Das hängt stark von M ab, von der
> > Art der Operation etc pp
>
> Also nein, wenn weder die Operation und M explizit gegeben
> sind.
Allein schon wenn M einelemtnig ist, oder [m]M=\IR[/m] ist ... Die Länge der Bahnen (nicht die Anzahl der Bahnen) ist natürlich etwas anderes. Da gibt es nicht so viele Möglichkeiten.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Hmm,... muss mich korrigieren: Bei [mm] S_3 [/mm] als G haben die Bahnen höchstens die Länge 3. Ich habe die Möglichkeiten (a)(bc) mit einem 1 Zykel und einem 2 Zykel oder (abc) mit einem 3 Zykel. Mehr geht natürlich nicht, hatte ich falsch geschrieben. Hier fällt mir auf, dass diese Anzahlen grade die Teiler von 6 sind (1,2 und 3). X hatte ich auch hier nicht angegeben....
also Okay, Standgruppe = Isotropiegruppe
[mm] G_x [/mm] = {g [mm] \in [/mm] G: gx = x }
bei uns, also okay:
[mm] |G| = \sum_{k=1}^{n} Gx_i = \sum_{k=1}^{n} (G:G_{x_i}) [/mm]
Es gilt ord [mm] (G_x) [/mm] = ord [mm] G/G_x [/mm] = (G: [mm] G_x)
[/mm]
So richtig hilft mir das jetzt aber immer noch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Do 30.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hmm,... muss mich korrigieren: Bei [mm]S_3[/mm] als G haben die
> Bahnen höchstens die Länge 3. Ich habe die Möglichkeiten
> (a)(bc) mit einem 1 Zykel und einem 2 Zykel oder (abc) mit
> einem 3 Zykel. Mehr geht natürlich nicht, hatte ich falsch
> geschrieben. Hier fällt mir auf, dass diese Anzahlen grade
> die Teiler von 6 sind (1,2 und 3). X hatte ich auch hier
> nicht angegeben....
Wieso haben die Bahnen höchstens Länge 3? Was ist mit der Links-Operation [m]S_3\times S_3\to S_3,(s,g)\mapsto s*g[/m]. Die ist transitiv, also ergibt es genau eine Bahn der Länge 6.
> [mm]|G| = \sum_{k=1}^{n} Gx_i = \sum_{k=1}^{n} (G:G_{x_i})[/mm]
Wider: ich verstehe deine [m]x_i[/m] nicht - Algebra ist etwas länger her bei mir. Und was ist das n? Bis wohin summietst du da? Alle Bahnen sicher nicht!
> Es gilt ord [mm](G_x)[/mm] = ord [mm]G/G_x[/mm] = (G: [mm]G_x)[/mm]
Sicher? Vor allem die erste Gleichung scheint doch schwachsinnig - vielmehr sollten sich doch die ersten beiden Werte (bei großzügiger Auslegung von ord - du benutzt es nicht nur als Ordnung für eine gruppe ...) multipliziert [m]|G|[/m] ergeben, oder?
> So richtig hilft mir das jetzt aber immer noch nicht
> weiter.
Naja, irgendwann erhälst du Formeln, die ergeben, dass die Länge einer Bahn die Gruppenordnung teilt.
SEcki
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:27 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Hmm.... die [mm] x_i [/mm] gehören immer zu den zueinander gehörigen Bahnen.... die gruppe ergibt sich ja aus mehreren disjunkten Bahnen. Diese gehören dann zusammen. n ist die Anzahl der zusammengehörigen Bahnen. Meine Vermutung, dass es die Teiler der Gruppenordnung sind stimmt dann also, aber mit den Formeln die ich habe, kann ich das nach wie vor nicht begründen. Wenn die Menge und die Operation bekannt wären, dann schon,.... aber so?
> > [mm]|G| = \sum_{k=1}^{n} Gx_i = \sum_{k=1}^{n} (G:G_{x_i})[/mm]
>
> Wider: ich verstehe deine [m]x_i[/m] nicht - Algebra ist etwas
> länger her bei mir. Und was ist das n? Bis wohin summietst
> du da? Alle Bahnen sicher nicht!
> > Es gilt ord [mm](G_x)[/mm] = ord [mm]G/G_x[/mm] = (G: [mm]G_x)[/mm]
>
> Sicher? Vor allem die erste Gleichung scheint doch
> schwachsinnig - vielmehr sollten sich doch die ersten
> beiden Werte (bei großzügiger Auslegung von ord - du
> benutzt es nicht nur als Ordnung für eine gruppe ...)
> multipliziert [m]|G|[/m] ergeben, oder?
So, die Formeln hab ich jetzt aus dem Algebra-buch Bosch.... also müssen sie stimmen. Anfangen kann ich mit der Formel allerdings nicht viel. ord benutze ich für Gruppen, Ringe und Körper.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
So, als weitere Formel habe ich nun im Internet noch gefunden, dass
|G| = [mm] |G_x| [/mm] |Gx|
Leider ohne Beweis....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
So, das Problem ist gelöst: [mm] G_x [/mm] ist ja eine Untergruppe von G. Damit ist die Ordnung von [mm] G_x [/mm] ein Teiler von |G|
Mit [mm] (G:G_x) [/mm] wird der Index oder die Anzahl der Linksnebenklassen von G bezeichnet. Es gilt |G| = [mm] |G_x| (G:G_x)
[/mm]
Da [mm] |G_x| [/mm] ein Teiler von G ist, ist auch [mm] (G:G_x) [/mm] ein Teiler von G.
Nach Formel ist dieses aber genau = |Gx| und damit ein Teiler von G.
|*| ist nur eine andere Schreibweise für ord(*)
Hiermit entschuldige ich mich für meine Verwirrungen... *schäm*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Do 30.03.2006 | | Autor: | SEcki |
> Hmm.... die [mm]x_i[/mm] gehören immer zu den zueinander gehörigen
> Bahnen.... die gruppe ergibt sich ja aus mehreren
> disjunkten Bahnen. Diese gehören dann zusammen. n ist die
> Anzahl der zusammengehörigen Bahnen.
Dies existiert ja blos bei endlichem [m]M[/m] in den natürlichen Zahlen, btw.
> Meine Vermutung, dass
> es die Teiler der Gruppenordnung sind stimmt dann also,
> aber mit den Formeln die ich habe, kann ich das nach wie
> vor nicht begründen. Wenn die Menge und die Operation
> bekannt wären, dann schon,.... aber so?
Ist es nach deinen Korrekturen klar? Ich blick hier im Thread leider nicht mehr ganz durch.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Langsam verstehe ich: Die ursprünglich von mir genannte Formel war falsch - hab ich wohl in der Vorlesung falsch mitgeschrieben: Bei der Bahnengleichung steht vorne nicht |G| sondern |M|.... das heißt diese Formel kann zur Lösung einer solchen Fragestellung sowieso nicht verwendet werden.
Ich glaube |Gx| = [mm] (G:G_x) [/mm] ist das gleiche wie |G| = [mm] |G_x| [/mm] |Gx| suche mir grade nochmal was aus der Vorlesung zusammen und melde mich gleich nochmals.
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