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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 29.01.2006 | | Autor: | kluh |
Hallo Leute,
Ich habe mal kurz eine kleine Verständnisfrage. Es geht dabei um den Bahnensatz am Beispiel [mm] G=S_{3} [/mm] und M={1,...,5}.
Jedes Element m [mm] \in [/mm] M besitzt ja eine Bahn Gm={g(m) | g [mm] \in [/mm] G}. Im Beispiel ergibt sich dann für m=1,2,3: Gm={1,2,3} und für m=4,5: Gm={4,5}, oder?
Aber die Bahnen sollen doch eigentlich eine disjunkte Zerlegung von M bilden.
Wo liegt da mein Denkfehler?
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:13 So 29.01.2006 | | Autor: | moudi |
Hallo Stefan
Du musst sagen, wie die Gruppe [mm] $S_3$ [/mm] auf deiner Menge M operiert. Die Operation einer Gruppe auf einer Menge muss gewisse "Axiome" erfüllen, nur dann gilt der Satz über die Zerlegung der Menge in Bahnen.
mfG Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 So 29.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Ok ich denke die Operation von deiner Guppe [mm] $S_3$ [/mm] auf [mm] M=$\{1,\dots,5\}$ [/mm]
ist durch permutation von [mm] $\{ 1,2,3 \}$ [/mm] und "elementweises festlassen" von
[mm] $\{ 4,5 \}$ [/mm] gegeben. D.h. für $g [mm] \in S_3$ [/mm] ist $g [mm] \cdot [/mm] 4=4$ und $g [mm] \cdot [/mm] 5=5$.
Somit hast du auch gleich die Bahnen der Elemente: 4 und 5 sie enthalten nämlich nur sich selbst: [mm] $S_3 \cdot [/mm] 4 = 4$ und [mm] $S_3 \cdot [/mm] 5 =5$ die disjunkte Bahnen-Zerlegung von [mm] $\{1,\dots,5\}$ [/mm] ist demnach [mm] $\{1,2,3\},\{4\},\{5\}$.
[/mm]
Man kann [mm] $S_3$ [/mm] auch anders auf M operieren lassen:
[mm] $g\cdot [/mm] 4= [mm] \begin{cases} 4, & \mbox{für Signum}(g) = 1 \\ 5 & \mbox{für Signum}(g)=-1 \end{cases}$
[/mm]
[mm] $g\cdot [/mm] 5= [mm] \begin{cases} 5, & \mbox{für Signum}(g) = 1 \\ 4 & \mbox{für Signum}(g)=-1 \end{cases}$
[/mm]
In disem Falle wäre die Bahnenzerlegung in der Tat [mm] $\{1,2,3\},\{4,5\}$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 29.01.2006 | | Autor: | kluh |
Hallo,
Als Ergänzung noch einmal:
[mm] G=S_{3} [/mm] soll die symmetrische Gruppe sein, d.h. alle Permutationen der Elemente 1, 2 und 3 enthalten. Die Elemente 4 und 5 werden unter g [mm] \in [/mm] G festgehalten.
Somit erhält man als disjunkte Zerlegung von M in Bahnen die Mengen {1,2,3},{4},{5}.
Die Bahnen der Elemente 1, 2 und 3 sind somit identisch.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:40 Mo 30.01.2006 | | Autor: | DerHein |
Ja
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