Bahnkurve eines Insektes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Sa 02.06.2012 | | Autor: | edding |
| Aufgabe | | Im Punkte (0,0) [mm] \in \IR [/mm] sei eine Heizung aufgestellt, die die Temperaturverteilung T(x,y) = 1- [mm] \bruch{1}{2} (x^2+ \bruch{1}{2} y^2) [/mm] zur Folge habe. Ein Insekt, das durch die Wärme angezogen wird, befinde sich zum Zeitpunkt t=0 im Punkte (1, [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ) in Ruhelage. Wie sieht die Bahnkurve aus, auf der sich das Insekt auf den Ursprung zubewegt? |
hallöchen,...
so würde ich vorgehen:
also das insekt wird sich ja entlang des gradienten bewegen, also rechne ich zuerst den gradient der temperaturverteilung aus. dieser gradient ist dann r(t)? oder ist r(t) der abstand des insektes zur heizung? sozusagen dann r(t) = (1, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] + vt , wobei vt=geschwindigkeit mal zeit
hmm.. weiter wüsste ich jetzt nicht, ich weiß, dass ein kurvenintegral anzuwenden ist, aber nicht wo, und was mein F(r(t)) ist.
wäre dankbar für eure hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Sa 02.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Berechne doch mal den Gradienten. Dann kannst Du jedem Punkt der Fläche einen Vektor zuordnen. Zeichne Dir das mal hin. Dann siehst Du die Lösung. Andernfalls suchst Du eine Funktion, die an jedem ihrer Punkte zu dem vorgegebenen Vektorfeld passt. Das gibt ihr in jedem Punkt die Ableitung, also hast Du eine Differentialgleichung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Sa 02.06.2012 | | Autor: | edding |
hey..
der gradient ist (x, 0,5y)
so.. ok, mit vektorzuordnung meinst du tangentailvektoren?
von welchem vektorfeld sprichst du?
ich versteh das nicht so ganz jetzt! :( tut mir leid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:24 Sa 02.06.2012 | | Autor: | edding |
nein, stimmt n icht..
der gradient ist (-x, -0,5y)
meine obigen fragen konnt ich immer noch nicht klären und hoffe auf antwort! xD
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Sa 02.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo,
dass er sich in Gradientenrichtg bewegt, heisst v hat die richtung des Gradienten. und s'(t)=v
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:44 So 03.06.2012 | | Autor: | edding |
also berechne ich [mm] \integral_{0}^{?} [/mm] F(v)*v' ?
in etwa so? F(v)= 1- [mm] \bruch{1}{2} *x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} y^2
[/mm]
wie gehe ich mit den anfangspunkt bzw der ruhelage um?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 So 03.06.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
beim Lösen der DGL entsteht immer eine Konstante mit und der Wert dieser Konstanten wird durch die Anfangsbedingung festgelegt.
Viele Grüße,
Infinit
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> also berechne ich [mm]\integral_{0}^{?}[/mm] F(v)*v' ? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
keine Ahnung, was du hier meinst ...
> in etwa so? F(v)= 1- [mm]\bruch{1}{2} *x^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{16} y^2[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> wie gehe ich mit den anfangspunkt bzw der ruhelage um?
Wenn das Insekt an einem Punkt P(x,y) angelangt ist,
bewegt es sich in der Richtung, die durch den Gradienten-
vektor angezeigt wird. Aus diesem Gradienten kann man
für die Wegkurve des Insekts die Steigung berechnen:
$\ y'\ =\ [mm] \frac{dy}{dx}\ [/mm] =\ [mm] \frac{y}{2\,x}$
[/mm]
Nun geht es darum, diese Differentialgleichung zu lösen.
Das geht leicht durch Trennung der Variablen.
Beim Integrieren muss man eine Integrationskonstante
in die Rechnung einführen, die zunächst unbestimmt ist.
Den Anfangspunkt benützt man dann, um aus den vielen
Lösungskurven der DGL die richtige herauszupicken.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 So 03.06.2012 | | Autor: | edding |
ja dankeschööön!
also ich betrachte nich nur den gradienten mit gradT= (-x,-0,5y) sondern muss auch implzit ableiten, ja?
wenn du mir das dort richtig angezeigt hast,, dann bekomme ich durch trennung der variablen das heraus:
[mm] \integral \bruch{1}{y} [/mm] dy = [mm] \integral \bruch{1}{2x} [/mm] dx
ln|y| = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ln|x| +C'
y = [mm] x^{\bruch{1}{2}} [/mm] *C
gut.. und jetzt könnt ich den punkt zwar einsetzen, aber wie komme ich zur bahnkurve?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 So 03.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Die hast Du gerade hingeschrieben. Nur das C musst Du noch bestimmen, indem Du den einen Punkt einsetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 So 03.06.2012 | | Autor: | edding |
super!
wenn jetzt das c= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist, dann bin ich zufrieden! xD
dankeschön!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 So 03.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig
Gruss leduart
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